Determine o menor y tal que v1=(1,0, y / 3), v2=(2,1,4) e v3= (y / 2,1, y) são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede o menor y tal que os vetores
vec v1=(1,0,tfracy3),
vec v2=(2,1,4) e
vec v3=(tfracy2,1,y)
sejam coplanares. Para isso, usamos o critério de que o produto misto (ou triplo escalar) é zero, isto é, o determinante formado pelas componentes desses vetores deve ser zero.

Passo 2

Formamos o determinante
1 & 0 & tfracy3 2 & 1 & 4 tfracy2 & 1 & y =0

Passo 3

Expandindo pela primeira linha:
1cdot1 & 41 & y -0cdot2 & 4tfracy2 & y +y3cdot2 & 1tfracy2 & 1 =0

Passo 4

Calculamos os menores:
1 & 41 & y = y-4, 2 & 1tfracy2 & 1 =2-tfracy2
Substituindo na expansão,
(y-4)+y3l(2-tfracy2r)=0

Passo 5

Multiplicando por 3:
3(y-4)+yl(2-tfracy2r)=0 ;Longrightarrow; 3y-12+2y-tfracy^22=0
Multiplicando por 2:
6y-24+4y-y^2=0 ;Longrightarrow; -y^2+10y-24=0 ;Longrightarrow; y^2-10y+24=0

Passo 6

Resolvendo
y=10pmraiz100-962 =10pm22,
obtém-se y=4 ou y=6. O menor valor é 4.

Resposta

O menor valor de y que torna vec v1,vec v2,vec v3 coplanares é 4.

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