Considere p(x)=2 x^2-3 x+1. O conjunto alpha=p(x), p^prime(x), p^prime prime(x) é LI em P2?

Passo 1

O enunciado nos coloca em P2, o espaço de polinômios de grau no máximo 2, e define
alpha=p(x),p'(x),p''(x)
com
p(x)=2x^2-3x+1
Queremos verificar se alpha é linearmente independente, usando a definição de independência linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Calculemos as derivadas de p(x):
p'(x)=ddx(2x^2-3x+1)=4x-3,
p''(x)=ddx(4x-3)=4

Passo 3

Considere uma combinação linear nula:
c1,p(x)+c2,p'(x)+c3,p''(x)=0,forall x
Substituindo as expressões:
c1(2x^2-3x+1)+c2(4x-3)+c3cdot4=0

Passo 4

Igualando coeficientes de potências de x a zero, obtemos o sistema
2c1=0, -3c1+4c2=0, c1-3c2+4c3=0
Da primeira equação vem c1=0. Substituindo em -3c1+4c2=0 4c2=0, logo c2=0. Finalmente, c1-3c2+4c3=0 implica 4c3=0, ou seja, c3=0.

Resposta

Sim. Como a única solução é c1=c2=c3=0, o conjunto p(x),p'(x),p''(x) é linearmente independente em P2.

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