Os elementos v1=(1,3,2), v2=(-2,-2,1) e v3=(-3,-1,4) de R^3 são Linearmente Dependentes.
Verdadeiro ou falso? Demonstre

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,3,2), v2=(-2,-2,1) e v3=(-3,-1,4) em R^3 e pergunta se eles são linearmente dependentes. Para mostrar dependência linear basta encontrar escalares alpha,beta,gamma não todos nulos tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica alpha v1+beta v2+gamma v3=0 coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha -2beta -3gamma = 0, 3alpha -2beta -gamma = 0, 2alpha +beta +4gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação vem alpha=2beta+3gamma. Substituindo na segunda:
3(2beta+3gamma)-2beta-gamma=0;Longrightarrow;4beta+8gamma=0;Longrightarrow;beta=-2gamma
Então alpha=2(-2gamma)+3gamma=-gamma. A terceira equação fica
2(-gamma)+(-2gamma)+4gamma=0,
que é satisfeita. Logo há soluções não triviais, por exemplo tomando gamma=1 obtemos
alpha=-1, beta=-2, gamma=1.

Passo 4

Com esses valores temos
-1,v1;-;2,v2;+;1,v3=0 Longrightarrow v3=v1+2,v2
Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula os vetores, logo eles são linearmente dependentes.

Resposta

Verdadeiro.

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