Seja f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}, com c, d \neq 0.
a. Usando o exercício anterior, determine a inversa de f(x)=\frac{x-1}{x+1}.
b. Tome a=0, b=1, c=-1, e d=1. Mostre que f \circ f \circ f=I. Qual a inversa de f \circ f ?
c. Tome a=1, b=-3, c=1, d=1. Determine (f \circ f)^{-1}.
d. Tome a=4, b=2, c=2, d=1. Determine f e verifique se é invertível.

Passo 1

O enunciado trata de funções racionais do tipo de Möbius
\;f(x)=\frac{a x+b}{c x+d} com c,d\neq0.
Precisamos (a) achar a inversa de \frac{x-1}{x+1}, (b) no caso f(x)=1/(1-x) mostrar que f\circ f\circ f=I e encontrar (f\circ f)^{-1}, (c) para f(x)=(x-3)/(x+1) determinar (f\circ f)^{-1} e (d) para f(x)=(4x+2)/(2x+1) verificar se é invertível.
Usaremos resolução algébrica de y=f(x) para isolar x e a condição de invertibilidade ad-bc\neq0.

Passo 2

(a) Seja y=\frac{x-1}{x+1}. Então
y(x+1)=x-1
yx + y = x - 1
yx - x = -1 - y
x(y-1) = -(1+y)
x = \frac{-(1+y)}{\,y-1\,} = \frac{1+y}{1-y}.
Logo
f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x}.

Passo 3

(b) Tome f(x)=\frac1{1-x}.
Primeiro
f(f(x)) =\frac1{1-\frac1{1-x}} =\frac1{\frac{1-x-1}{\,1-x\,}} =\frac1{\,-\frac{x}{1-x}\,} =-\frac{1-x}{x} =\frac{x-1}{x}.
Em seguida
f(f(f(x))) =f\Bigl(\tfrac{x-1}{x}\Bigr) =\frac1{1-\frac{x-1}{x}} =\frac1{\frac{x-(x-1)}{x}} =\frac1{\frac1{x}} =x,
logo f\circ f\circ f=I.
Para achar (f\circ f)^{-1}, note que f\circ f envia x\mapsto (x-1)/x. Resolvendo
y=\frac{x-1}{x} \;\Longrightarrow\; x=\frac1{1-y},
vemos que (f\circ f)^{-1}(x)=1/(1-x), que é exatamente f(x).

Passo 4

(c) Seja agora f(x)=\frac{x-3}{x+1}.
Calculamos
f(f(x)) =f\Bigl(\tfrac{x-3}{x+1}\Bigr) =-\frac{x+3}{x-1}.
Para inverter essa função h(x)=-\frac{x+3}{x-1}, escrevemos
y=-\frac{x+3}{x-1} \;\Longrightarrow\; y(x-1)=-x-3 \;\Longrightarrow\; yx - y = -x -3 \;\Longrightarrow\; x(y+1)=y-3 \;\Longrightarrow\; x=\frac{y-3}{y+1}.
Logo
(f\circ f)^{-1}(x)=\frac{x-3}{x+1},
que coincide com f(x).

Passo 5

(d) Finalmente f(x)=\frac{4x+2}{2x+1}.
O determinante da matriz \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\\ 2&1\end{pmatrix} é
ad - bc = 4\cdot1 - 2\cdot2 = 0.
Como ad-bc=0, a transformação de Möbius não é invertível. De fato
\frac{4x+2}{2x+1} =2\quad(\forall x\neq -\tfrac12),
é constante, sem inversa.

Resposta

a) \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x}.
b) f\circ f\circ f=I e \,(f\circ f)^{-1}=f.
c) \,(f\circ f)^{-1}(x)=\frac{x-3}{x+1}.
d) f(x)=\frac{4x+2}{2x+1} e como ad-bc=0, não é invertível.

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