Seja
, com
.
a. Usando o exercício anterior, determine a inversa de
.
b. Tome
, e
. Mostre que
. Qual a inversa de
?
c. Tome
. Determine
.
d. Tome
. Determine
e verifique se é invertível.
a. Usando o exercício anterior, determine a inversa de
b. Tome
c. Tome
d. Tome
Passo 1
O enunciado trata de funções racionais do tipo de Möbius
com
.
Precisamos (a) achar a inversa de , (b) no caso
mostrar que
e encontrar
, (c) para
determinar
e (d) para
verificar se é invertível.
Usaremos resolução algébrica de para isolar
e a condição de invertibilidade
.
Precisamos (a) achar a inversa de
Usaremos resolução algébrica de
Passo 2
(a) Seja
. Então
Logo
Passo 3
(b) Tome
.
Primeiro
Primeiro
Em seguida
logo
.
Para achar , note que
envia
. Resolvendo
Para achar
vemos que
, que é exatamente
.
Passo 4
(c) Seja agora
.
Calculamos
Calculamos
Para inverter essa função
, escrevemos
Logo
que coincide com
.
Passo 5
(d) Finalmente
.
O determinante da matriz é
O determinante da matriz é
Como
, a transformação de Möbius não é invertível. De fato
é constante, sem inversa.
Resposta
a)
b) e
c)
d) e como
, não é invertível.
b)
c)
d)