Determine a modelo matemático para a queda livre, ou seja, a queda de um corpo sujeito apenas à gravidade. Tome
como aproximação para a aceleração da gravidade.
De uma altura de 200 m , arremessa-se para cima um corpo com velocidade de
. Qual a altura máxima atingida pelo corpo? Quanto tempo se passa até atingir essa altura? Quanto tempo até o corpo passar pelo ponto de onde foi arremessado? E para chegar ao solo?
De uma altura de 200 m , arremessa-se para cima um corpo com velocidade de
Passo 1
Somos convidados a modelar o movimento de um corpo em queda livre sob a ação apenas da gravidade, tomando g = –9,8 m/s², lançado verticalmente para cima de y₀ = 200 m com velocidade inicial v₀ = 5 m/s. Vamos usar as fórmulas da cinemática uniformemente variada para altura e velocidade.
Passo 2
Escrevemos o modelo matemático da altura y(t) em função do tempo t usando a relação da posição sob aceleração constante:
Substituindo y₀ = 200, v₀ = 5 e g = –9,8, temos
Passo 3
Para achar o tempo em que atinge a altura máxima, usamos a derivada da posição (velocidade) e igualamos a zero:
e imposição v(t) = 0 leva a
Passo 4
Com tₘₐₓ em mãos, calculamos a altura máxima yₘₐₓ substituindo tₘₐₓ em y(t):
Passo 5
Para o tempo em que volta ao ponto de lançamento y = y₀ = 200 m, resolvemos
que reduz a
, desprezando t=0, obtemos
Passo 6
Para encontrar o tempo até o corpo atingir o solo (y = 0), resolvemos
Aplicando a fórmula de Bhaskara em 4,9 t² - 5 t - 200 = 0, ficamos com
Resposta
Modelo: y(t) = 200 + 5 t – 4,9 t². Altura máxima: 201,28 m no instante t ≈ 0,51 s. Tempo para voltar ao ponto de lançamento: 1,02 s. Tempo até chegar ao solo: 6,92 s.