Determine a modelo matemático para a queda livre, ou seja, a queda de um corpo sujeito apenas à gravidade. Tome g=-9,8 m / s^2 como aproximação para a aceleração da gravidade.
De uma altura de 200 m , arremessa-se para cima um corpo com velocidade de 5 m / s. Qual a altura máxima atingida pelo corpo? Quanto tempo se passa até atingir essa altura? Quanto tempo até o corpo passar pelo ponto de onde foi arremessado? E para chegar ao solo?

Passo 1

Somos convidados a modelar o movimento de um corpo em queda livre sob a ação apenas da gravidade, tomando g = –9,8 m/s², lançado verticalmente para cima de y₀ = 200 m com velocidade inicial v₀ = 5 m/s. Vamos usar as fórmulas da cinemática uniformemente variada para altura e velocidade.

Passo 2

Escrevemos o modelo matemático da altura y(t) em função do tempo t usando a relação da posição sob aceleração constante:
y(t) = y0 + v0,t + 12,g,t^2
Substituindo y₀ = 200, v₀ = 5 e g = –9,8, temos
y(t) = 200 + 5,t - 4,9,t^2

Passo 3

Para achar o tempo em que atinge a altura máxima, usamos a derivada da posição (velocidade) e igualamos a zero:
v(t) = v0 + g,t = 5 - 9,8,t
e imposição v(t) = 0 leva a
5 - 9,8,tmáx = 0 Longrightarrow tmáx = 59,8 approx 0,51 s áá

Passo 4

Com tₘₐₓ em mãos, calculamos a altura máxima yₘₐₓ substituindo tₘₐₓ em y(t):
ymáx = 200 + 5,(0,51) - 4,9,(0,51)^2 approx 200 + 2,55 - 1,28 = 201,28 m á

Passo 5

Para o tempo em que volta ao ponto de lançamento y = y₀ = 200 m, resolvemos
200 + 5,t - 4,9,t^2 = 200
que reduz a
-4,9,t^2 + 5,t = 0 Longrightarrow t(5 - 4,9,t)=0
, desprezando t=0, obtemos
t = 54,9 approx 1,02 s

Passo 6

Para encontrar o tempo até o corpo atingir o solo (y = 0), resolvemos
200 + 5,t - 4,9,t^2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara em 4,9 t² - 5 t - 200 = 0, ficamos com
t = 5 + raiz25 +4cdot4,9cdot2002cdot4,9 approx 5 + 62,819,8 approx 6,92 s

Resposta

Modelo: y(t) = 200 + 5 t – 4,9 t². Altura máxima: 201,28 m no instante t ≈ 0,51 s. Tempo para voltar ao ponto de lançamento: 1,02 s. Tempo até chegar ao solo: 6,92 s.

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