Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
x^2 y^prime+2 x y-y^3=0

Passo 1

Então, temos a equação diferencial $ x^{2} y^{\prime} + 2x y - y^{3} = 0 $. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente do tipo Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar o tipo dela e aplicar uma substituição que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli. Dividindo todos os termos por $ x^{2} $, temos:
x^2
Essa é uma equação de Bernoulli porque se encaixa na forma geral:
y^prime + 2x y - y^3x^2 = 0
onde aqui $ P(x) = \frac{2}{x} $, $ Q(x) = -\frac{1}{x^{2}} $ e $ n = 3 $.

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
v = y^1 - n = y^-2

Passo 4

Vamos derivar $ v $ em relação a $ x $:
v
Agora, substituímos $ y^{\prime} $ da equação original na expressão de $ v^{\prime} $. Da equação reorganizada:
x
Substituindo na expressão de $ v^{\prime} $:
v^prime = -2 y^-3 y^prime
Simplificando:
y^prime
Como $ v = y^{-2} $, substituímos:
v^prime

Passo 5

Agora, temos uma equação linear para $ v $:
v
Vamos resolver essa equação utilizando o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
v^prime - 4x v = -2x^2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação linear por $ \mu(x) = x^{-4} $:
mu(x) = x^-4
Simplificando:
x^-4 v^prime - 4x x^-4 v = -2x^2 x^-4

Passo 7

Integrando ambos os lados:
x^-4 v = integral -2x^6 dx + C
Calculando a integral:
integral -2x^6 dx = 25 x^5 + C
Portanto:
x^-4 v = 25 x^5 + C
Multiplicando por $ x^{4} $:
x^4

Passo 8

Lembrando que $ v = y^{-2} $, substituímos de volta:
v = y^-2
Invertendo ambos os lados:
y^-2 = 25 x + C x^4
Portanto, isolando $ y $:
y^2 = 125 x + C x^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = pm raiz,1,25,x + C,x^4,,

Exercícios relacionados