Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Então, temos a equação diferencial $ x^{2} y^{\prime} + 2x y - y^{3} = 0 $. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente do tipo Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar o tipo dela e aplicar uma substituição que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli. Dividindo todos os termos por $ x^{2} $, temos:
Essa é uma equação de Bernoulli porque se encaixa na forma geral:
onde aqui $ P(x) = \frac{2}{x} $, $ Q(x) = -\frac{1}{x^{2}} $ e $ n = 3 $.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Passo 4
Vamos derivar $ v $ em relação a $ x $:
Agora, substituímos $ y^{\prime} $ da equação original na expressão de $ v^{\prime} $. Da equação reorganizada:
Substituindo na expressão de $ v^{\prime} $:
Simplificando:
Como $ v = y^{-2} $, substituímos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear para $ v $:
Vamos resolver essa equação utilizando o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação linear por $ \mu(x) = x^{-4} $:
Simplificando:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Portanto:
Multiplicando por $ x^{4} $:
Passo 8
Lembrando que $ v = y^{-2} $, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Portanto, isolando $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: