Determine a solução geral da equação diferencial dada e seu comportamento assintótico no infinito, ou seja, o comportamento da solução nas infinitudes
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial e entender como a solução dela se comporta quando $ t $ vai para mais ou menos infinito. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vou te explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever para encaixar na forma geral:
Aqui, $ P(t) = -\frac{1}{1 + t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{1 + t} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) $:
Passo 4
Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(t) $:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo é apenas $ \frac{y}{1 + t} $. Para a integral do lado direito:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + t $ para isolar $ y $:
Passo 7
Essa é a solução geral da equação diferencial:
Onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento assintótico dessa solução quando $ t $ vai para mais ou menos infinito.
Para $ t \to +\infty $:
Isso significa que a solução cresce linearmente conforme $ t $ aumenta.
Para $ t \to -\infty $:
Assim, a solução também tende a crescer ou decrescer linearmente conforme $ t $ diminui infinitamente, dependendo do valor de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E seu comportamento assintótico no infinito é linear, ou seja, conforme $ t $ tende para $ \pm \infty $, a solução $ y(t) $ cresce ou decresce linearmente dependendo do valor da constante $ C $.