Determine a solução geral da equação diferencial dada e seu comportamento assintótico no infinito, ou seja, o comportamento da solução nas infinitudes pm infty.
dydt=1+y1+t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial e entender como a solução dela se comporta quando $ t $ vai para mais ou menos infinito. A equação que vamos trabalhar é:
t
Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vou te explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
dydt + P(t) cdot y = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
dydt = 1 + y1 + t
Podemos reescrever para encaixar na forma geral:
dydt - 11 + t cdot y = 11 + t
Aqui, $ P(t) = -\frac{1}{1 + t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{1 + t} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $:
11 + t cdot dydt - 1(1 + t)^2 cdot y = 1(1 + t)^2

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo é apenas $ \frac{y}{1 + t} $. Para a integral do lado direito:
integral ddt ( y1 + t ) dt = integral 1(1 + t)^2 dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
y1 + t = -11 + t + C
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + t $ para isolar $ y $:
1 + t

Passo 7

Essa é a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C(1 + t) - 1
Onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento assintótico dessa solução quando $ t $ vai para mais ou menos infinito.
Para $ t \to +\infty $:
t á
Isso significa que a solução cresce linearmente conforme $ t $ aumenta.
Para $ t \to -\infty $:
t to +infty
Assim, a solução também tende a crescer ou decrescer linearmente conforme $ t $ diminui infinitamente, dependendo do valor de $ C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C(1 + t) - 1
E seu comportamento assintótico no infinito é linear, ou seja, conforme $ t $ tende para $ \pm \infty $, a solução $ y(t) $ cresce ou decresce linearmente dependendo do valor da constante $ C $.

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