De modo geral, problemas abordados no curso tem a forma
, onde
é uma matriz que indica uma ação externa no sistema,
indica como o sistema reage a esta ação e
[K] é uma matriz constante de proporcionalidade, que indica quão suscetível ou não o sistema é à influência de {f}.
Vê-se pela equação acima que podemos separar os graus de liberdade envolvidos no problema em tipos E e F. Para os primeiros, os termos associados da matriz
são conhecidos enquanto para os segundos, os termos da matriz
são conhecidos. Discuta sobre a possibilidade de haver graus de liberdade para os quais ambos termos de
e
são conhecidos ou desconhecidos.
[K] é uma matriz constante de proporcionalidade, que indica quão suscetível ou não o sistema é à influência de {f}.
Vê-se pela equação acima que podemos separar os graus de liberdade envolvidos no problema em tipos E e F. Para os primeiros, os termos associados da matriz
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral de equilíbrio
e diz que podemos separar os graus de liberdade em dois tipos: E (deslocamentos conhecidos) e F (forças conhecidas). Vamos usar isso para discutir casos em que tanto
quanto
sejam conhecidos ou desconhecidos.
Passo 2
Para os graus de liberdade do tipo E (condições de contorno essenciais), assumimos que o vetor de deslocamentos
é conhecido. O vetor de forças
correspondente é então calculado como reação do sistema e não surge como dado do problema.
Para os graus de liberdade do tipo F (condições de contorno naturais), assumimos que o vetor de forças é conhecido. Já o vetor de deslocamentos
deve ser encontrado pela resolução do sistema de equações.
Para os graus de liberdade do tipo F (condições de contorno naturais), assumimos que o vetor de forças
Passo 3
Se em algum grau de liberdade tanto
quanto
forem especificados (ambos conhecidos), isso configura um sobreconstrangimento. Num problema de elementos finitos, isso equivale a impor simultaneamente deslocamento e força num mesmo nó: ou a força extra é redundante (e pode gerar incompatibilidade), ou esse valor extra de força serve apenas para verificar a reação. Mas em geral devemos evitar duplo valor imposto para não ter equações inconsistentes.
Por outro lado, se num grau de liberdade nem nem
estiverem conhecidos (ambos desconhecidos), o sistema ficará mal definido nesse DOF. Não haverá nem condição de contorno essencial nem natural para “ancorar” aquele grau de liberdade, podendo resultar em movimento rígido ou em matriz
singular, sem solução única.
Por outro lado, se num grau de liberdade nem
Passo 4
Em suma, graus de liberdade com ambos conhecidos são fisicamente sobreconstrangidos e geram condições redundantes ou de verificação de reação; graus de liberdade com ambos desconhecidos deixam o problema subconstrangido e sem solução única. Por isso, em problemas bem formulados, classificamos cada DOF como E (
conhecido) ou F (
conhecido), nunca ambos nem nenhum dos dois.
Resposta
Graus de liberdade com ambos
e
conhecidos causam sobreconstrangimento e possíveis inconsistências, enquanto graus de liberdade com ambos desconhecidos deixam o problema mal condicionado (movimento rígido ou
singular). Em problemas bem formulados cada DOF deve ter exatamente um dos vetores especificado: ou
(tipo E) ou
(tipo F).