De modo geral, problemas abordados no curso tem a forma f=[K]d, onde f é uma matriz que indica uma ação externa no sistema, d indica como o sistema reage a esta ação e
[K] é uma matriz constante de proporcionalidade, que indica quão suscetível ou não o sistema é à influência de {f}.
Vê-se pela equação acima que podemos separar os graus de liberdade envolvidos no problema em tipos E e F. Para os primeiros, os termos associados da matriz d são conhecidos enquanto para os segundos, os termos da matriz f são conhecidos. Discuta sobre a possibilidade de haver graus de liberdade para os quais ambos termos de d e f são conhecidos ou desconhecidos.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de equilíbrio d e diz que podemos separar os graus de liberdade em dois tipos: E (deslocamentos conhecidos) e F (forças conhecidas). Vamos usar isso para discutir casos em que tanto f quanto sejam conhecidos ou desconhecidos.

Passo 2

Para os graus de liberdade do tipo E (condições de contorno essenciais), assumimos que o vetor de deslocamentos dE é conhecido. O vetor de forças fE correspondente é então calculado como reação do sistema e não surge como dado do problema.
Para os graus de liberdade do tipo F (condições de contorno naturais), assumimos que o vetor de forças fF é conhecido. Já o vetor de deslocamentos dF deve ser encontrado pela resolução do sistema de equações.

Passo 3

Se em algum grau de liberdade tanto d quanto f forem especificados (ambos conhecidos), isso configura um sobreconstrangimento. Num problema de elementos finitos, isso equivale a impor simultaneamente deslocamento e força num mesmo nó: ou a força extra é redundante (e pode gerar incompatibilidade), ou esse valor extra de força serve apenas para verificar a reação. Mas em geral devemos evitar duplo valor imposto para não ter equações inconsistentes.
Por outro lado, se num grau de liberdade nem d nem f estiverem conhecidos (ambos desconhecidos), o sistema ficará mal definido nesse DOF. Não haverá nem condição de contorno essencial nem natural para “ancorar” aquele grau de liberdade, podendo resultar em movimento rígido ou em matriz [K] singular, sem solução única.

Passo 4

Em suma, graus de liberdade com ambos conhecidos são fisicamente sobreconstrangidos e geram condições redundantes ou de verificação de reação; graus de liberdade com ambos desconhecidos deixam o problema subconstrangido e sem solução única. Por isso, em problemas bem formulados, classificamos cada DOF como E ( d conhecido) ou F ( f conhecido), nunca ambos nem nenhum dos dois.

Resposta

Graus de liberdade com ambos d e f conhecidos causam sobreconstrangimento e possíveis inconsistências, enquanto graus de liberdade com ambos desconhecidos deixam o problema mal condicionado (movimento rígido ou [K] singular). Em problemas bem formulados cada DOF deve ter exatamente um dos vetores especificado: ou d (tipo E) ou f (tipo F).

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