Determine c e d de modo que a função seja diferenciável em f(x)=ll7 x+32x & x <= -2 c x+d & x>-2. Nesse caso a equação da reta tangente ao gráfico de x=-2 em f é
a. x=1
b. y=-x-28
c. y=-x-32
d. y=15 x-60
e. y=15 x-32

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de $ c $ e $ d $ para que ela seja diferenciável em $ x = -2 $. Isso envolve conceitos de continuidade e derivadas na matéria de Cálculo. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em $ x = -2 $ e que as derivadas dos dois lados também coincidam nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos assegurar a continuidade em $ x = -2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -2 $.
Para $ x \leq -2 $:
x = -2
Calculando $ f(-2) $:
x
Para $ x > -2 $:
x = -2
O limite quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita é:
x <= -2
Igualando os limites para garantir a continuidade:
f(x) = 7x + 32x
Essa é nossa primeira equação: $ -2c + d = -30 $.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em $ x = -2 $. Isso significa que as derivadas dos dois lados devem ser iguais nesse ponto.
Derivando $ f(x) $ para $ x \leq -2 $:
x = -2
Calculando $ f’(-2) $:
f(x)
Derivando $ f(x) $ para $ x > -2 $:
x <= -2
Então, a derivada pela direita é $ c $.
Igualando as derivadas para garantir a diferenciabilidade:
f'(x) = 7 - 32x^2
Agora sabemos que $ c = -1 $.

Passo 4

Com $ c = -1 $, voltamos à primeira equação para encontrar $ d $:
c = -1
d
-2(-1) + d = -30
2 + d = -30
Então, $ d = -32 $.

Passo 5

Agora que temos $ c = -1 $ e $ d = -32 $, a função para $ x > -2 $ fica:
c = -1
Precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ em $ x = 1 $.

Passo 6

Para isso, vamos calcular $ f(1) $ e $ f’(1) $.
Calculando $ f(1) $:
f(1)
Como $ f(x) = -x -32 $ é uma reta, sua derivada é constante:
f'(1)
Então, $ f’(1) = -1 $.

Passo 7

A equação da reta tangente tem a forma:
y = f'(a)(x - a) + f(a)
Substituindo $ a = 1 $, $ f(1) = -33 $ e $ f’(1) = -1 $:
a = 1
f(1) = -33
f'(1) = -1

Resposta

A alternativa correta é a b. $ y = -x -32 $

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