Determine
e
de modo que a função seja diferenciável em
. Nesse caso a equação da reta tangente ao gráfico de
em
é
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de $ c $ e $ d $ para que ela seja diferenciável em $ x = -2 $. Isso envolve conceitos de continuidade e derivadas na matéria de Cálculo. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em $ x = -2 $ e que as derivadas dos dois lados também coincidam nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos assegurar a continuidade em $ x = -2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -2 $.
Para $ x \leq -2 $:
Calculando $ f(-2) $:
Para $ x > -2 $:
O limite quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita é:
Igualando os limites para garantir a continuidade:
Essa é nossa primeira equação: $ -2c + d = -30 $.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em $ x = -2 $. Isso significa que as derivadas dos dois lados devem ser iguais nesse ponto.
Derivando $ f(x) $ para $ x \leq -2 $:
Calculando $ f’(-2) $:
Derivando $ f(x) $ para $ x > -2 $:
Então, a derivada pela direita é $ c $.
Igualando as derivadas para garantir a diferenciabilidade:
Agora sabemos que $ c = -1 $.
Passo 4
Com $ c = -1 $, voltamos à primeira equação para encontrar $ d $:
Então, $ d = -32 $.
Passo 5
Agora que temos $ c = -1 $ e $ d = -32 $, a função para $ x > -2 $ fica:
Precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ em $ x = 1 $.
Passo 6
Para isso, vamos calcular $ f(1) $ e $ f’(1) $.
Calculando $ f(1) $:
Como $ f(x) = -x -32 $ é uma reta, sua derivada é constante:
Então, $ f’(1) = -1 $.
Passo 7
A equação da reta tangente tem a forma:
Substituindo $ a = 1 $, $ f(1) = -33 $ e $ f’(1) = -1 $:
Resposta
A alternativa correta é a b. $ y = -x -32 $