Sendo h uma função real diferenciável tal que h(5)=2 e h^prime(5)=7, calcule a derivada da função f(x)=(x^2+x) h(x)x h(x)+7 no ponto x=5.
O. 166981b. 464289
Oc. 1724289
O d. 23237
©. 10225

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{(x^{2} + x) h(x)}{x h(x) + 7} $ no ponto $ x = 5 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas e a Regra do Quociente, que é bem útil quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão compor a regra do quociente. Vamos chamar:
  • Numerador $ U(x) = (x^{2} + x) h(x) $
  • Denominador $ V(x) = x h(x) + 7 $
Nossa meta é encontrar $ f’(5) $, ou seja, a derivada de $ f(x) $ quando $ x = 5 $.

Passo 3

A Regra do Quociente nos diz que a derivada de $ \frac{U(x)}{V(x)} $ é:
U(x)V(x)
Então, precisamos achar $ U’(x) $ e $ V’(x) $.

Passo 4

Vamos calcular $ U’(x) $ e $ V’(x) $:
  1. Derivada de $ U(x) $:
U'(x)
Usamos a regra do produto:
V'(x)
  1. Derivada de $ V(x) $:
U(x)
Novamente, usando a regra do produto:
U(x) = (x^2 + x) h(x)

Passo 5

Agora, substituímos $ x = 5 $ e os valores que nos dão:
  • $ h(5) = 2 $
  • $ h’(5) = 7 $
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando $ U’(5) $:
x = 5
  1. Calculando $ U(5) $:
h(5) = 2
  1. Calculando $ V’(5) $:
h'(5) = 7
  1. Calculando $ V(5) $:
U'(5)
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
U'(5) = (2 times 5 + 1) times 2 + (5^2 + 5) times 7 = (10 + 1) times 2 + (25 + 5) times 7 = 22 + 210 = 232

Resposta

$ f’(5) = \frac{1724}{289} $ (Alternativa c)

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