Sendo
uma função real diferenciável tal que
e
, calcule a derivada da função
no ponto
.
O.
b.
Oc.
O d.
©.
O.
Oc.
O d.
©.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{(x^{2} + x) h(x)}{x h(x) + 7} $ no ponto $ x = 5 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas e a Regra do Quociente, que é bem útil quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão compor a regra do quociente. Vamos chamar:
- Numerador $ U(x) = (x^{2} + x) h(x) $
- Denominador $ V(x) = x h(x) + 7 $
Nossa meta é encontrar $ f’(5) $, ou seja, a derivada de $ f(x) $ quando $ x = 5 $.
Passo 3
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de $ \frac{U(x)}{V(x)} $ é:
Então, precisamos achar $ U’(x) $ e $ V’(x) $.
Passo 4
Vamos calcular $ U’(x) $ e $ V’(x) $:
- Derivada de $ U(x) $:
Usamos a regra do produto:
- Derivada de $ V(x) $:
Novamente, usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, substituímos $ x = 5 $ e os valores que nos dão:
- $ h(5) = 2 $
- $ h’(5) = 7 $
Vamos calcular cada parte:
- Calculando $ U’(5) $:
- Calculando $ U(5) $:
- Calculando $ V’(5) $:
- Calculando $ V(5) $:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Resposta
$ f’(5) = \frac{1724}{289} $ (Alternativa c)