Seja
um caminho fechado simples do plano
descrito no sentido positivo e escreva
Mostre que
se
estiver no interior de
e que
se
estiver no exterior de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
g(z)=∮_C \frac{s3+2s}{(s−z)3} ds
onde C é um caminho fechado simples orientado positivamente, e mostrar que
g(z)=6πi z se z está no interior de C, e g(z)=0 se z está no exterior. O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas de funções holomorfas.
g(z)=∮_C \frac{s3+2s}{(s−z)3} ds
onde C é um caminho fechado simples orientado positivamente, e mostrar que
g(z)=6πi z se z está no interior de C, e g(z)=0 se z está no exterior. O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas de funções holomorfas.
Passo 2
Para resolver, vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas: se f é holomorfa em e sobre uma região que contém C e seu interior, então
a integral de f(s)/(s−z)^{n+1} em C vale
a integral de f(s)/(s−z)^{n+1} em C vale
Aqui temos n+1=3, ou seja n=2.
Passo 3
Identificamos f(s)=s^3+2s. Calculamos suas derivadas:
Pela fórmula de Cauchy para derivadas com n=2, quando z está no interior de C:
Passo 4
Se z estiver no exterior de C, a singularidade em s=z não está no interior do caminho, então a integral vale zero por ser a integral de uma função holomorfa em e sobre a região delimitada por C. Portanto, g(z)=0 no exterior de C.
Resposta
g(z)=6\pi i,z se z está no interior de C, e g(z)=0 se z está no exterior de C.