Seja C um caminho fechado simples do plano z descrito no sentido positivo e escreva
g(z)=integralC s^3+2 s(s-z)^3 d s
Mostre que g(z)=6 pi i z se z estiver no interior de C e que g(z)=0 se z estiver no exterior de C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
g(z)=∮_C \frac{s3+2s}{(s−z)3} ds
onde C é um caminho fechado simples orientado positivamente, e mostrar que
g(z)=6πi z se z está no interior de C, e g(z)=0 se z está no exterior. O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas de funções holomorfas.

Passo 2

Para resolver, vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas: se f é holomorfa em e sobre uma região que contém C e seu interior, então
a integral de f(s)/(s−z)^{n+1} em C vale
∮C f(s)(s−z)^n+1 ds = 2πi f^(n)(z)n!
Aqui temos n+1=3, ou seja n=2.

Passo 3

Identificamos f(s)=s^3+2s. Calculamos suas derivadas:
f'(s)=3s^2+2,
f''(s)=6s
Pela fórmula de Cauchy para derivadas com n=2, quando z está no interior de C:
g(z)=∮C s^3+2s(s−z)^3 ds = 2πi f''(z)2! = 2πi 6z2 = 6πi z

Passo 4

Se z estiver no exterior de C, a singularidade em s=z não está no interior do caminho, então a integral vale zero por ser a integral de uma função holomorfa em e sobre a região delimitada por C. Portanto, g(z)=0 no exterior de C.

Resposta

g(z)=6\pi i,z se z está no interior de C, e g(z)=0 se z está no exterior de C.

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