Determine c in R de modo que lim x +infty(raizx^4+c x^2+17-x^2)=4.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de cinR tal que
limxto+inftyl(raizx^4+c x^2+17-x^2r)=4
Isso é um problema de limites no infinito envolvendo raiz quadrada. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, que elimina a diferença de uma raiz e outra expressão, facilitando a simplificação assintótica.

Passo 2

Racionalizamos a expressão multiplicando por raizx^4+c x^2+17+x^2raizx^4+c x^2+17+x^2. Assim,
raizx^4+c x^2+17-x^2 =l(raizx^4+c x^2+17-x^2r)l(raizx^4+c x^2+17+x^2r)raizx^4+c x^2+17+x^2 =x^4+c x^2+17 - x^4raizx^4+c x^2+17+x^2 =c x^2 + 17raizx^4+c x^2+17+x^2

Passo 3

No quociente c x^2 + 17raizx^4+c x^2+17+x^2, dividimos numerador e denominador por x^2:
c + 17x^2raiz1 + cx^2 + 17x^4;+;1
Quando xto+infty, temos tfrac17x^2to0 e raiz1+tfraccx^2+tfrac17x^4to1. Logo o limite vale
limxto+inftyl(raizx^4+c x^2+17-x^2r) =c + 01+1 =c2

Passo 4

Para que esse limite seja igual a 4, impondo c2=4, obtemos
c=8

Resposta

O valor de c que satisfaz a condição é 8.

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