Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.
Mostre que a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma solução real positiva e uma solução real negativa.
Definimos a função
Definimos a função
que é um polinômio, logo contínua em
. Usaremos o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema do Anulamento) que garante que, se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
.
Passo 2
Para encontrar uma raiz positiva, avaliamos
em
e em
:
Como
é contínua em
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de
tal que
Assim existe pelo menos uma solução real positiva.
Passo 3
Para encontrar uma raiz negativa, avaliamos
em
e em
:
Como
é contínua em
e
, novamente pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Logo há pelo menos uma solução real negativa.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução
(positiva) e outra
(negativa).