Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação x^6+2 x=5 x^4-1 tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^6 + 2x = 5x^4 - 1
possui pelo menos uma solução real positiva e uma solução real negativa.
Definimos a função
f(x) = x^6 + 2x - 5x^4 + 1
que é um polinômio, logo contínua em R. Usaremos o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema do Anulamento) que garante que, se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Para encontrar uma raiz positiva, avaliamos f em x=0 e em x=1:
f(0) = 0^6 + 2cdot0 - 5cdot0^4 + 1 = 1 > 0,
f(1) = 1^6 + 2cdot1 - 5cdot1^4 + 1 = 1 + 2 - 5 + 1 = -1 < 0
Como f é contínua em [0,1] e f(0)cdot f(1) < 0, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de cin(0,1) tal que
f(c)=0
Assim existe pelo menos uma solução real positiva.

Passo 3

Para encontrar uma raiz negativa, avaliamos f em x=-1 e em x=0:
f(-1) = (-1)^6 + 2(-1) - 5(-1)^4 + 1 = 1 - 2 - 5 + 1 = -5 < 0,
f(0) = 1 > 0
Como f é contínua em [-1,0] e f(-1)cdot f(0) < 0, novamente pelo Teorema do Valor Intermediário existe din(-1,0) tal que
f(d)=0
Logo há pelo menos uma solução real negativa.

Resposta

A equação x^6 + 2x = 5x^4 - 1 tem pelo menos uma solução cin(0,1) (positiva) e outra din(-1,0) (negativa).

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