Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação raizx+pi=x^2-sen(x) tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
raizx+pi ;=; x^2-sen(x)
possui pelo menos uma raiz x<0 e uma raiz x>0. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano): se uma função contínua muda de sinal num intervalo, ela anula em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Definimos
f(x) = raizx+pi;-;x^2 ;+;sen(x)
O domínio de f é x>= -pi (para manter x+pi>=0). Cada parcela raizx+pi, x^2 e sen(x) é contínua em [-pi,infty), logo f é contínua em [-pi,infty).

Passo 3

Para achar uma raiz negativa, avaliamos em x=-pi e em x=0:
f(-pi) = raiz-pi+pi ;-;(-pi)^2 ;+;sen(-pi) = 0 ;-;pi^2 ;+;0 = -pi^2<0,
f(0) = raiz0+pi ;-;0^2 ;+;sen(0) = raizpi>0
Como f é contínua e f(-pi)<0< f(0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe c1in(-pi,0) tal que f(c1)=0. Esse c1 é uma solução negativa da equação original.

Passo 4

Para achar uma raiz positiva, avaliamos em x=0 e em x=2:
f(0)=raizpi>0 e f(2)=raiz2+pi;-;2^2;+;sen(2)
Numericamente, raiz2+piapprox2,27, sen(2)approx0,91, então
f(2)approx2,27 -4 +0,91 = -0,82<0
Como f é contínua e f(0)>0>f(2), existe c2in(0,2) com f(c2)=0. Esse c2 é uma solução positiva.

Resposta

A equação raizx+pi=x^2-sen(x) tem pelo menos uma raiz em (-pi,0) e outra em (0,2).

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