Q.6: Utilizando o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Anulamento, responda os itens abaixo.
Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução real positiva e uma negativa.
Mostre que a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma raiz
e uma raiz
. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano): se uma função contínua muda de sinal num intervalo, ela anula em algum ponto desse intervalo.
Passo 2
Definimos
O domínio de
é
(para manter
). Cada parcela
,
e
é contínua em
, logo
é contínua em
.
Passo 3
Para achar uma raiz negativa, avaliamos em
e em
:
Como
é contínua e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Esse
é uma solução negativa da equação original.
Passo 4
Para achar uma raiz positiva, avaliamos em
e em
:
Numericamente,
,
, então
Como
é contínua e
, existe
com
. Esse
é uma solução positiva.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz em
e outra em
.