Nos problemas abaixo, resolva os PVI’s dados.
(x^2+y^2-5) d x=(y+x y) d y, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(x^2+y^2-5),dx = (y + x,y),dy, y(0)=1,
que podemos reescrever como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com
M(x,y)=x^2+y^2-5, N(x,y)=-y,(1+x)
Para resolver, vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos que
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=-y,
logo não é exata. Calculamos
partial M/partial y - partial N/partial xN =2y -(-y)-y(1+x) =-31+x,
que depende só de x. Assim
mu(x)=expl(integral -31+x,dxr) =(1+x)^-3
é um fator integrante.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
M'(x,y),dx + N'(x,y),dy = 0
com
M'=(x^2+y^2-5)(1+x)^-3, N'=-y,(1+x)^-2
Verificamos agora
partial M'partial y =2y,(1+x)^-3 =partial N'partial x,
portanto a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x =M' e partial F/partial y =N'.
Integrando M' em relação a x, com t=1+x,
integralx^2+y^2-5(1+x)^3,dx =integrall(t^-1-2t^-2+(y^2-4)t^-3r),dt =ln t + 2t - y^2-42,t^2 + g(y)
Voltando a x,
F(x,y)=ln(1+x)+21+x-y^2-42,(1+x)^2+g(y)
Derivando em y e igualando a N' g'(y)=0, logo g é constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
ln(1+x)+21+x-y^2-42,(1+x)^2=C
Impondo y(0)=1 em x=0 obtemos
0 + 2 - 1-42=2 + tfrac32=72,
logo C=tfrac72.

Passo 6

Reescrevendo para isolar y^2:
y^2-42,(1+x)^2 =ln(1+x)+21+x-72 ;Longrightarrow; y^2 =2(1+x)^2ln(1+x)+1-10x-7x^2
Como y(0)=1>0, escolhemos a raiz positiva.

Resposta

boxed y(x) =raiz,2(1+x)^2ln(1+x);+;1;-;10x;-;7x^2,,

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