Determine K de modo que a reta (r) de equação 4 x+3 y+k=0 seja secante à circunferência (lambda) x^2+y^2-4 x-2 y-4=0.
Escolha uma opção:
S=m in R mid k>-26 ou k>4
  • S=m in R mid 26<k<-4
  • S=m in R mid-26<k<4
    (- S=m in R mid k>-20 ou k>-4
    () S=m in R mid k>-21 ou k>8

Passo 1

O enunciado dá a reta (r) de equação
4x + 3y + k = 0
e a circunferência (lambda) de equação
x^2 + y^2 -4x -2y -4 = 0
Queremos que (r) seja secante a (lambda), ou seja, que intersecte a circunferência em dois pontos distintos. Em geometria analítica, isso ocorre se a distância do centro da circunferência à reta for menor que o raio.

Passo 2

Para achar o centro e o raio de (lambda), completamos quadrados:
x^2 -4x + y^2 -2y = 4 Longrightarrow (x-2)^2 -4 + (y-1)^2 -1 = 4
Longrightarrow (x-2)^2 + (y-1)^2 = 9
Logo o centro é C=(2,1) e o raio é r=3.

Passo 3

A distância de C=(2,1) à reta 4x+3y+k=0 é dada por
d = l|4cdot2 + 3cdot1 + kr|raiz4^2+3^2 = |8+3+k|5 = |k+11|5

Passo 4

Para que a reta seja secante, precisamos de
d < r Long<=ftrightarrow |k+11|5 < 3 Long<=ftrightarrow |k+11| < 15
Long<=ftrightarrow -15 < k+11 < 15 Long<=ftrightarrow -26 < k < 4

Resposta

S = ,k in R mid -26 < k < 4

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