Encontre f^prime(x).
f(x)=(x^2+1) cotg x3-cos x cosec x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = (x^2+1)cot x3 - cos x,csc x
Usaremos as regras de derivação de produto (para o numerador), as derivadas de funções trigonométricas ( cot x e csc x) e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
N(x) = (x^2 + 1),cot x e D(x) = 3 - cos x,csc x
Então
f(x) = N(x)D(x)

Passo 3

Derivamos N(x) por produto:
N'(x) = ddxl(x^2+1r),cot x + (x^2+1),ddxl(cot xr)
Como ddx(x^2+1)=2x e ddx(cot x)=-csc^2 x, segue
N'(x) = 2x,cot x - (x^2+1),csc^2 x

Passo 4

Agora derivamos D(x)=3 - g(x) com g(x)=cos x,csc x.
Primeiro
g'(x) = (cos x)' ,csc x + cos x,(csc x)' = (-sin x),csc x + cos x,(-csc xcot x)
Como sin x,csc x=1, obtemos
g'(x) = -1 - cos x,csc x,cot x
Logo
D'(x) = -g'(x) = 1 + cos x,csc x,cot x

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)l(D(x)r)^2
Substituindo N, N', D e D', chega-se a
f'(x) = l(2xcot x - (x^2+1)csc^2 xr)l(3 - cos x,csc xr) - (x^2+1)cot xl(1 + cos x,csc x,cot xr) l(3 - cos x,csc xr)^2

Passo 6

Este é o resultado final. A expressão pode ser deixada neste formato, que já mostra claramente o uso do quociente e a derivação de cada parte trigonométrica.

Resposta

f'(x) = l(2xcot x - (x^2+1)csc^2 xr)l(3 - cos x,csc xr) - (x^2+1)cot xl(1 + cos x,csc x,cot xr) l(3 - cos x,csc xr)^2

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