Determine
e
de modo que se tenha
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
,
e
tais que a identidade entre polinômios abaixo seja verdadeira para todo
:
Informações dadas:
- A expressão do lado esquerdo (LHS) é um polinômio em
que depende dos parâmetros . - O lado direito (RHS) é o polinômio
.
O que se pergunta: - Encontrar os valores de
, e que fazem a igualdade verdadeira para todo .
Passo 2
Primeiro vamos expandir e simplificar cada termo do lado esquerdo. Use a propriedade distributiva (multiplicar cada parcela dentro do parêntese):
Agora substituímos essas expansões na expressão original do lado esquerdo.
Passo 3
Reescrevendo o LHS com as expansões:
Agrupando os termos semelhantes (mesmas potências de
): potência
,
,
e termo constante:
Passo 4
Conceito importante: duas expressões polinomiais são idênticas para todo
se, e somente se, os coeficientes de cada potência de
forem iguais termo a termo. Ou seja, devemos igualar os coeficientes de
, de
, de
e o termo constante entre LHS e RHS.
Passo 5
Compare os coeficientes do LHS com os do RHS
, cujo desenvolvimento é
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
(O coeficiente dejá bate: .)
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação temos
Da primeira equação
Da segunda equação
temos
Da terceira equação
temos
Usando
obtemos
. Usando
obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida: substituindo
no polinômio LHS temos
que coincide com o RHS. Logo os valores encontrados estão corretos.