Determine a, b e c de modo que se tenha
x^{3}+-a x(x+1)+b\left(x^{2}-1\right)+c x+4=x^{3}-2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a, b e c tais que a identidade entre polinômios abaixo seja verdadeira para todo x:
x^{3}+-a x(x+1)+b\left(x^{2}-1\right)+c x+4=x^{3}-2.
Informações dadas:
  • A expressão do lado esquerdo (LHS) é um polinômio em x que depende dos parâmetros a,b,c.
  • O lado direito (RHS) é o polinômio x^{3}-2.
    O que se pergunta:
  • Encontrar os valores de a, b e c que fazem a igualdade verdadeira para todo x.

Passo 2

Primeiro vamos expandir e simplificar cada termo do lado esquerdo. Use a propriedade distributiva (multiplicar cada parcela dentro do parêntese):
-a x(x+1) = -a x^{2} - a x,
b\left(x^{2}-1\right) = b x^{2} - b.
Agora substituímos essas expansões na expressão original do lado esquerdo.

Passo 3

Reescrevendo o LHS com as expansões:
x^{3} + (-a x^{2} - a x) + (b x^{2} - b) + c x + 4.
Agrupando os termos semelhantes (mesmas potências de x): potência x^{3}, x^{2}, x e termo constante:
x^{3} + (-a + b)\,x^{2} + (-a + c)\,x + (-b + 4).

Passo 4

Conceito importante: duas expressões polinomiais são idênticas para todo x se, e somente se, os coeficientes de cada potência de x forem iguais termo a termo. Ou seja, devemos igualar os coeficientes de x^{3}, de x^{2}, de x e o termo constante entre LHS e RHS.

Passo 5

Compare os coeficientes do LHS com os do RHS x^{3}-2, cujo desenvolvimento é
x^{3} + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x + (-2).
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
  • coeficiente de x^{2}: -a + b = 0,
  • coeficiente de x: -a + c = 0,
  • termo constante: -b + 4 = -2.
    (O coeficiente de x^{3} já bate: 1=1.)

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação -a + b = 0 temos
b = a.
Da segunda equação -a + c = 0 temos
c = a.
Da terceira equação -b + 4 = -2 temos
-b = -6 \quad\Rightarrow\quad b = 6.
Usando b=a obtemos a = 6. Usando c=a obtemos c = 6.

Passo 7

Verificação rápida: substituindo a=b=c=6 no polinômio LHS temos
x^{3} + (-6+6)x^{2} + (-6+6)x + (-6+4) = x^{3} + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x -2 = x^{3}-2,
que coincide com o RHS. Logo os valores encontrados estão corretos.

Resposta

a=6
b=6
c=6

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