Determine a, b e c de modo que se tenha
a\left(x^{2}+x\right)+(b+c) x+c=x^{2}+4 x+2;

Passo 1

O enunciado pede que determinemos os números a, b e c tais que a igualdade
a\left(x^{2}+x\right)+(b+c) x+c=x^{2}+4 x+2
valha para todo valor de x. Informações relevantes dadas:
\text{Expressão à esquerda: }a\left(x^{2}+x\right)+(b+c)x+cãà
\text{Expressão à direita: }x^{2}+4x+2ãà
O que se pede: encontrar os valores de a, b e c que tornam essa igualdade verdadeira para qualquer x.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando duas expressões polinomiais são iguais para todo x, dizemos que é uma identidade polinomial. Isso implica que os coeficientes de cada potência de x nas duas expressões coincidem. Por exemplo, se p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma e q(x)=\alpha' x^2+\beta' x+\gamma' e p(x)=q(x) para todo x, então \alpha=\alpha', \beta=\beta' e \gamma=\gamma'. A razão: subtraindo as duas expressões obtemos o polinômio zero, cujo coeficientes são todos zero.

Passo 3

Vamos desenvolver a expressão da esquerda, passo a passo, para deixar claros os coeficientes. Primeiro expandimos a\left(x^{2}+x\right):
a\left(x^{2}+x\right)=ax^{2}+ax.
Agora somamos (b+c)x e c. Assim a expressão inteira à esquerda fica:
ax^{2}+ax+(b+c)x+c.

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes (mesmas potências de x), obtemos:
ax^{2}+(a+b+c)x+c.
A expressão à direita já está em forma padrão:
x^{2}+4x+2.
Pela ideia da identidade polinomial (Passo 2), os coeficientes correspondentes de x^{2}, de x e do termo constante devem ser iguais. Isso gera o sistema de equações:
a = 1,
a+b+c = 4,
c = 2.

Passo 5

Resolvendo o sistema: das duas equações simples já temos a=1 e c=2. Substituindo esses valores na equação do coeficiente de x,
a+b+c=4
fica
1 + b + 2 = 4.
Calculando:
b+3=4 \Rightarrow b=1.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar): com a=1, b=1, c=2 a expressão da esquerda é
1\cdot(x^{2}+x)+(1+2)x+2 = x^{2}+x+3x+2 = x^{2}+4x+2,
que coincide com a direita. Logo os valores estão corretos.

Resposta

a=1
b=1
c=2

Exercícios relacionados