Determine
e
de modo que se tenha
;
Passo 1
O enunciado pede que determinemos os números
,
e
tais que a igualdade
valha para todo valor de
. Informações relevantes dadas:
O que se pede: encontrar os valores de
,
e
que tornam essa igualdade verdadeira para qualquer
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando duas expressões polinomiais são iguais para todo
, dizemos que é uma identidade polinomial. Isso implica que os coeficientes de cada potência de
nas duas expressões coincidem. Por exemplo, se
e
e
para todo
, então
,
e
. A razão: subtraindo as duas expressões obtemos o polinômio zero, cujo coeficientes são todos zero.
Passo 3
Vamos desenvolver a expressão da esquerda, passo a passo, para deixar claros os coeficientes. Primeiro expandimos
:
Agora somamos
e
. Assim a expressão inteira à esquerda fica:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes (mesmas potências de
), obtemos:
A expressão à direita já está em forma padrão:
Pela ideia da identidade polinomial (Passo 2), os coeficientes correspondentes de
, de
e do termo constante devem ser iguais. Isso gera o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema: das duas equações simples já temos
e
. Substituindo esses valores na equação do coeficiente de
,
fica
Calculando:
Passo 6
Verificação (sempre bom checar): com
,
,
a expressão da esquerda é
que coincide com a direita. Logo os valores estão corretos.