Exercício 0.10 Explique porque os seis números complexos são razízes sêxtuplas de 1 são os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que os seis números complexos que são raízes sêxtuplas de 1 (ou seja, as soluções da equação z^6=1) são exatamente os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1 centrada na origem.
Informações dadas (ou implícitas) que vamos usar:
  • Procuramos todas as soluções complexas de z^6=1.
  • A circunferência de raio 1 centrada na origem é o conjunto dos complexos com módulo 1.
  • Queremos mostrar que essas soluções ficam igualmente espaçadas em ângulo ao redor da origem (o que caracteriza um polígono regular).

Passo 2

Vamos lembrar uma forma muito útil de representar números complexos: a forma polar (ou exponencial).
Qualquer complexo z pode ser escrito como
z = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r=|z| é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo). Usando a fórmula de Euler, isso também se escreve
z = r e^{i\theta}.
Explico: r é a distância do ponto ao origem no plano complexo; \theta é o ângulo formado com o eixo real positivo. A exponencial complexa relaciona-se com seno e cosseno por e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 3

Agora aplicamos isso à equação das raízes de unidade. Se z satisfaz z^6=1, escrevemos z em forma exponencial:
z = r e^{i\theta}.
Então
z^6 = r^6 e^{i6\theta}.
Como z^6=1 e 1=e^{i\cdot 0}=e^{i\cdot 2\pi m} para qualquer inteiro m, igualamos magnitudes e argumentos. Da igualdade dos módulos vem
r^6 = 1 \implies r=1
(pegamos a raiz positiva porque r é módulo). Da igualdade dos argumentos (módulo 2\pi) vem
6\theta = 2\pi m \quad\text{para algum } m\in\mathbb{Z},
logo
\theta = \frac{2\pi m}{6} = \frac{\pi m}{3}.

Passo 4

Como os argumentos distintos que produzem raízes distintas correspondem a m=0,1,2,3,4,5 (valores além desses repetem as mesmas soluções módulo 2\pi), obtemos exatamente seis soluções:
z_m = e^{i\pi m/3} = \cos\!\left(\frac{\pi m}{3}\right) + i\sin\!\left(\frac{\pi m}{3}\right), \quad m=0,1,2,3,4,5.
Mostro explicitamente os seis pontos (útil para visualizar):
\begin{aligned} z_0 &= e^{i\cdot 0} = 1,\\\ z_1 &= e^{i\pi/3} = \tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ z_2 &= e^{i2\pi/3} = -\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ z_3 &= e^{i\pi} = -1,\\\ z_4 &= e^{i4\pi/3} = -\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ z_5 &= e^{i5\pi/3} = \tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}

Passo 5

Mostro que todos esses pontos estão na circunferência de raio 1: cada z_m tem módulo
|z_m| = |e^{i\pi m/3}| = 1,
pois |e^{i\theta}|=1 para todo \theta. Assim eles estão todos na circunferência centrada na origem com raio 1.

Passo 6

Agora explico por que são os vértices de um hexágono regular, ou seja, por que estão igualmente espaçados em ângulo e têm lados iguais.
Os argumentos \theta_m=\pi m/3 formam uma progressão aritmética com diferença
\Delta\theta = \theta_{m+1}-\theta_m = \frac{\pi}{3}.
Isto significa que os pontos estão igualmente espaçados angularmente ao redor da origem em intervalos de \pi/3 radianos (ou 60^\circ). Igual espaçamento angular e mesmo raio é já a indicação de um polígono regular inscrito.

Passo 7

Para ser rigoroso sobre os lados: o comprimento do segmento entre dois pontos consecutivos z_m e z_{m+1} é
|z_{m+1}-z_m| = \left|e^{i\theta_{m+1}}-e^{i\theta_m}\right|.
Fatorando e^{i\theta_m},
|z_{m+1}-z_m| = \left|e^{i\theta_m}\right| \left|e^{i(\theta_{m+1}-\theta_m)}-1\right| = \left|e^{i\Delta\theta}-1\right|,
pois |e^{i\theta_m}|=1. Vamos calcular \left|1-e^{i\alpha}\right| de forma geral (aqui \alpha=\Delta\theta). Temos
\left|1-e^{i\alpha}\right|^2 = (1-\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 2-2\cos\alpha = 4\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right),
usando a identidade trigonométrica 1-\cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2) e \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha. Assim
\left|1-e^{i\alpha}\right| = 2\left|\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right|.

Passo 8

Aplicamos isso para \alpha=\Delta\theta=\pi/3:
|z_{m+1}-z_m| = 2\left|\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Logo todos os lados entre pontos consecutivos têm o mesmo comprimento 1. Sendo todos os vértices concêntricos (mesmo raio) e com ângulos centrais iguais, e ainda com lados iguais, o polígono formado é um hexágono regular.

Passo 9

Observações geométricas que ajudam a fixar a intuição: vértices opostos são antipodais ( z_{m+3}=-z_m), a distância entre vértices que não são adjacentes corresponde a outros cordões da circunferência (por exemplo, a distância entre vértices com ângulo relativo 2\pi/3 vale \,2\sin(\pi/3)=\sqrt{3}\,), e tudo isso bate com as propriedades métricas de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1.

Resposta

As raízes sêxtuplas de 1 são
e^{i\pi m/3}=\cos\!\left(\frac{\pi m}{3}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi m}{3}\right),\quad m=0,1,2,3,4,5.
Elas têm módulo 1 (logo estão na circunferência de raio 1) e seus argumentos são igualmente espaçados por \pi/3. Isso implica que os pontos estão igualmente distribuídos ao redor da origem e que os comprimentos entre pontos consecutivos são iguais (valendo 1), portanto são exatamente os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1.

Exercícios relacionados