Exercício 0.10 Explique porque os seis números complexos são razízes sêxtuplas de 1 são os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1 centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que os seis números complexos que são raízes sêxtuplas de 1 (ou seja, as soluções da equação z^6=1) são exatamente os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1 centrada na origem.
Informações dadas (ou implícitas) que vamos usar:
Procuramos todas as soluções complexas de z^6=1.
A circunferência de raio 1 centrada na origem é o conjunto dos complexos com módulo 1.
Queremos mostrar que essas soluções ficam igualmente espaçadas em ângulo ao redor da origem (o que caracteriza um polígono regular).
Passo 2
Vamos lembrar uma forma muito útil de representar números complexos: a forma polar (ou exponencial).
Qualquer complexo z pode ser escrito como
z = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r=|z| é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo). Usando a fórmula de Euler, isso também se escreve
z = r e^{i\theta}.
Explico: r é a distância do ponto ao origem no plano complexo; \theta é o ângulo formado com o eixo real positivo. A exponencial complexa relaciona-se com seno e cosseno por e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Passo 3
Agora aplicamos isso à equação das raízes de unidade. Se z satisfaz z^6=1, escrevemos z em forma exponencial:
z = r e^{i\theta}.
Então
z^6 = r^6 e^{i6\theta}.
Como z^6=1 e 1=e^{i\cdot 0}=e^{i\cdot 2\pi m} para qualquer inteiro m, igualamos magnitudes e argumentos. Da igualdade dos módulos vem
r^6 = 1 \implies r=1
(pegamos a raiz positiva porque r é módulo). Da igualdade dos argumentos (módulo 2\pi) vem
6\theta = 2\pi m \quad\text{para algum } m\in\mathbb{Z},
logo
\theta = \frac{2\pi m}{6} = \frac{\pi m}{3}.
Passo 4
Como os argumentos distintos que produzem raízes distintas correspondem a m=0,1,2,3,4,5 (valores além desses repetem as mesmas soluções módulo 2\pi), obtemos exatamente seis soluções:
Mostro que todos esses pontos estão na circunferência de raio 1: cada z_m tem módulo
|z_m| = |e^{i\pi m/3}| = 1,
pois |e^{i\theta}|=1 para todo \theta. Assim eles estão todos na circunferência centrada na origem com raio 1.
Passo 6
Agora explico por que são os vértices de um hexágono regular, ou seja, por que estão igualmente espaçados em ângulo e têm lados iguais.
Os argumentos \theta_m=\pi m/3 formam uma progressão aritmética com diferença
Isto significa que os pontos estão igualmente espaçados angularmente ao redor da origem em intervalos de \pi/3 radianos (ou 60^\circ). Igual espaçamento angular e mesmo raio é já a indicação de um polígono regular inscrito.
Passo 7
Para ser rigoroso sobre os lados: o comprimento do segmento entre dois pontos consecutivos z_m e z_{m+1} é
Logo todos os lados entre pontos consecutivos têm o mesmo comprimento 1. Sendo todos os vértices concêntricos (mesmo raio) e com ângulos centrais iguais, e ainda com lados iguais, o polígono formado é um hexágono regular.
Passo 9
Observações geométricas que ajudam a fixar a intuição: vértices opostos são antipodais (z_{m+3}=-z_m), a distância entre vértices que não são adjacentes corresponde a outros cordões da circunferência (por exemplo, a distância entre vértices com ângulo relativo 2\pi/3 vale \,2\sin(\pi/3)=\sqrt{3}\,), e tudo isso bate com as propriedades métricas de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1.
Elas têm módulo 1 (logo estão na circunferência de raio 1) e seus argumentos são igualmente espaçados por \pi/3. Isso implica que os pontos estão igualmente distribuídos ao redor da origem e que os comprimentos entre pontos consecutivos são iguais (valendo 1), portanto são exatamente os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1.