Efetue a divisão de p(x) por q(x).
p(x)=3 x^{5}-x^{4}+2 x^{3}+4 x-3 e q(x)=x^{2}-2 x+1;

Passo 1

O enunciado pede que eu efetue a divisão de p(x) por q(x). As informações dadas são:
p(x)=3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+4x-3
q(x)=x^{2}-2x+1
Ou seja, preciso encontrar o quociente s(x) e o resto r(x) tais que
p(x)=q(x)\cdot s(x)+r(x),
onde o grau de r(x) é menor que o grau de q(x) (isto é, \deg r<2). Vou realizar a divisão polinomial passo a passo.

Passo 2

Primeiro, conveniência: escrevo p(x) com todos os termos até o grau 0, incluindo o coeficiente nulo de x^{2}:
p(x)=3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+0x^{2}+4x-3.
Regra básica (algoritmo da divisão polinomial): tomo o termo líder de p(x) e divido pelo termo líder de q(x); o resultado é o próximo termo do quociente. Depois multiplico q(x) por esse termo e subtraio do polinômio atual, repetindo até o resto ter grau menor que 2.
Observação útil: \deg p=5 e \deg q=2, então o quociente terá grau \deg p-\deg q=3. Vou encontrar os coeficientes de s(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.

Passo 3

1ª etapa do algoritmo — determinar o termo de maior grau do quociente:
Divido o termo líder:
\frac{3x^{5}}{x^{2}}=3x^{3}.
Multiplico q(x) por 3x^{3}:
3x^{3}\cdot (x^{2}-2x+1)=3x^{5}-6x^{4}+3x^{3}.
Subtraio isso de p(x):
(3x^{5}-x^{4}+2x^{3}) - (3x^{5}-6x^{4}+3x^{3}) = 5x^{4}-x^{3}.
Traçando os termos restantes, o novo polinômio (resto parcial) é
5x^{4}-x^{3}+0x^{2}+4x-3.
Até aqui, o quociente parcial é 3x^{3}.

Passo 4

2ª etapa — próximo termo do quociente:
Divido o novo termo líder:
\frac{5x^{4}}{x^{2}}=5x^{2}.
Multiplico q(x) por 5x^{2}:
5x^{2}\cdot (x^{2}-2x+1)=5x^{4}-10x^{3}+5x^{2}.
Subtraio do resto parcial:
(5x^{4}-x^{3}+0x^{2}) - (5x^{4}-10x^{3}+5x^{2}) = 9x^{3}-5x^{2}.
Incluindo os termos de menor grau que vinham junto, o novo resto parcial é
9x^{3}-5x^{2}+4x-3.
Agora o quociente parcial é 3x^{3}+5x^{2}.

Passo 5

3ª etapa — próximo termo do quociente:
Divido o termo líder:
\frac{9x^{3}}{x^{2}}=9x.
Multiplico q(x) por 9x:
9x\cdot (x^{2}-2x+1)=9x^{3}-18x^{2}+9x.
Subtraio:
(9x^{3}-5x^{2}+4x) - (9x^{3}-18x^{2}+9x) = 13x^{2}-5x.
Com o termo constante restante, o novo resto parcial é
13x^{2}-5x-3.
Agora o quociente parcial é 3x^{3}+5x^{2}+9x.

Passo 6

4ª etapa — último termo do quociente (porque o grau esperado é 3):
Divido o termo líder:
\frac{13x^{2}}{x^{2}}=13.
Multiplico q(x) por 13:
13\cdot (x^{2}-2x+1)=13x^{2}-26x+13.
Subtraio:
(13x^{2}-5x-3) - (13x^{2}-26x+13) = 21x-16.
Agora obtive um resto 21x-16 cujo grau é 1, menor que 2, então a divisão termina. O quociente final é
s(x)=3x^{3}+5x^{2}+9x+13
e o resto é
r(x)=21x-16.

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar seguro): calculo q(x)\cdot s(x)+r(x) e confirmo que volta p(x).
Multiplicando:
(x^{2}-2x+1)(3x^{3}+5x^{2}+9x+13)=3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-17x+13.
Somando o resto:
3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-17x+13 + (21x-16)=3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+0x^{2}+4x-3,
que é exatamente p(x). Portanto a divisão está correta.

Resposta

Quociente: 3x^{3}+5x^{2}+9x+13
Resto: 21x-16

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