A solução do sistema \left\{\begin{array}{c}(a-1) x+b y=1 \\\ (a+1) x+2 b y=5\end{array}\right. é o par ordenado (x, y)=(1,2). Determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\begin{cases} (a-1)x + b y = 1,\\[4pt] (a+1)x + 2b y = 5, \end{cases}
e diz que a solução desse sistema é o par ordenado (x,y)=(1,2).
O que o problema pede: determinar os valores de a e b que tornam (x,y)=(1,2) solução do sistema.]

Passo 2

Ideia fundamental (explicação didática): se (x,y)=(1,2) é solução do sistema, isso significa que ao substituir x=1 e y=2 em cada equação, ambas se tornam verdadeiras. Ou seja, ao substituir obtemos duas equações que relacionam a e b. Com essas duas equações podemos resolver para a e b.

Passo 3

Substituir x=1 e y=2 na primeira equação (a-1)x + b y = 1:
(a-1)\cdot 1 + b\cdot 2 = 1.
Fazendo as multiplicações e reorganizando:
a-1+2b=1 \quad\Rightarrow\quad a+2b=2.
Esta é a primeira equação linear em a e b.

Passo 4

Substituir x=1 e y=2 na segunda equação (a+1)x + 2b y = 5:
(a+1)\cdot 1 + 2b\cdot 2 = 5.
Fazendo as multiplicações e reorganizando:
a+1+4b=5 \quad\Rightarrow\quad a+4b=4.
Esta é a segunda equação linear em a e b.

Passo 5

Resolver o sistema linear formado por
\begin{cases} a+2b=2,\\[4pt] a+4b=4. \end{cases}
Usando eliminação: subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a:
(a+4b)-(a+2b)=4-2 \quad\Rightarrow\quad 2b=2.
Logo
b=1.
Agora substituir b=1 em a+2b=2:
a+2\cdot 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a+2=2 \quad\Rightarrow\quad a=0.]

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): com a=0 e b=1, as equações originais ficam
(0-1)x + 1\cdot y = 1 \quad\Rightarrow\quad -x+y=1,
(0+1)x + 2\cdot 1\cdot y = 5 \quad\Rightarrow\quad x+2y=5.
Substituindo x=1,y=2: -1+2=1 e 1+4=5, ambas verdadeiras. Portanto a=0 e b=1 estão corretos.

Resposta

a=0
b=1

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