Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x in Dp, sendo g dada por
g(x)=1x

Passo 1

Beleza, a questão pede pra encontrar uma função g(x) = 1x tal que, ao aplicar primeiro e depois , a gente volte exatamente ao valor . A função que a gente conhece é
Então o conteúdo aqui é “função inversa” e “composição de funções”. Vamos precisar lembrar que, se uma função tem inversa, então . Nosso objetivo é achar essa , que é a .

Passo 2

Vamos usar a definição de composição de funções:
(g circ f)(x) = gl(f(x)r)
Pede-se que isso dê gl(f(x)r) = x para todo no domínio. Logo, queremos

Passo 3

Agora, a gente substitui a fórmula de gl(f(x)r) = 1f(x) . Como 1f(x) = x , com , fica
E a gente quer que isso seja igual a . Ou seja:

Passo 4

Para isolar 1 = x cdot f(x) Longrightarrow f(x) = 1x , multiplico os dois lados por e depois divido por . Ficaria:

Resposta

A função que faz boxedf(x) = 1x para todo é

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