3 Determine A de modo que y=x^3-A x^2+1 tenha um ponto de inflexão em x=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de A de modo que a curva
y = x^3 - A x^2 + 1
tenha um ponto de inflexão em x=1.
Conteúdo: para identificar ponto de inflexão, precisamos da segunda derivada y'' e impor y''(1)=0. Além disso, verificamos que a concavidade muda por meio de y'''neq0.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivadas de y.
A primeira derivada é
y' = ddxl(x^3 - A x^2 + 1r) = 3x^2 - 2A x
A segunda derivada é
y'' = ddxl(3x^2 - 2A xr) = 6x - 2A

Passo 3

Para que haja ponto de inflexão em x=1, exigimos
y''(1) = 0
Substituindo x=1 em y''
6cdot1 - 2A = 0 Longrightarrow 6 - 2A = 0 Longrightarrow A = 3

Passo 4

Só por precaução, verificamos a terceira derivada:
y''' = ddxl(6x - 2Ar) = 6
Como y'''(1)=6neq0, a concavidade realmente troca de sinal em x=1, confirmando o ponto de inflexão.

Resposta

A = 3

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