Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(a) f(x)=4 x^2x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=4x^2x^2+3
identificar pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçar o gráfico. Isso envolve cálculo de derivadas, testes de primeira e segunda derivada, e limites no infinito.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais e horizontais.
O denominador x^2+3 nunca se anula, logo o domínio é todo R e não há assíntotas verticais.
Para xtopminfty,
f(x)=4x^2x^2+3 =41+3/x^2to4,
portanto há uma assíntota horizontal
y=4

Passo 3

Calcular a primeira derivada e estudar monotonicidade.
Usamos a regra do quociente:
f'(x) =(8x)(x^2+3)-4x^2cdot2x(x^2+3)^2 =8x^3+24x-8x^3(x^2+3)^2 =24x(x^2+3)^2
Como (x^2+3)^2>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o de x:
  • f'(x)<0 se x<0,
  • f'(x)>0 se x>0.

Passo 4

Classificar extremum em x=0.
Temos f'(0)=0 e f' muda de negativo para positivo ao passar por 0, logo f tem um mínimo local em x=0.
O valor é
f(0)=0
Não há outros pontos críticos, portanto não há máximos locais.

Passo 5

Calcular a segunda derivada e estudar concavidade e inflexões.
Derivando novamente,
f''(x) =24,(x^2+3)^2-24xcdot2,(x^2+3)cdot2x(x^2+3)^4 =72,(1-x^2)(x^2+3)^3
O numerador anula em x=pm1, que são candidatos a ponto de inflexão. Como
  • f''(x)>0 para |x|<1 (côncavo para cima),
  • f''(x)<0 para |x|>1 (côncavo para baixo),
    essas raízes são de fato pontos de inflexão. Os valores são
f(pm1)=4cdot11+3=1,
logo pontos de inflexão em (-1,1) e (1,1).

Passo 6

Esboço do gráfico e resumo do comportamento.
A função é par ( f(-x)=f(x)), decresce de (-infty,0), atinge mínimo em (0,0), cresce em (0,infty), muda de concavidade em -1 e 1, e se aproxima da reta y=4 quando |x|toinfty.

Resposta

Local mínimo: (0,0).
Não há máximos locais.
Pontos de inflexão: (-1,1) e (1,1).
Intervalo de crescimento: (0,infty).
Intervalo de decrescimento: (-infty,0).
Assíntota horizontal: y=4.
Não há assíntotas verticais.
Esboço: curva em “U” com mínimo em (0,0), inflexões em -1 e 1, aproximando-se de y=4.

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