Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para a função
identificar pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçar o gráfico. Isso envolve cálculo de derivadas, testes de primeira e segunda derivada, e limites no infinito.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais e horizontais.
O denominador nunca se anula, logo o domínio é todo
e não há assíntotas verticais.
Para ,
O denominador
Para
portanto há uma assíntota horizontal
Passo 3
Calcular a primeira derivada e estudar monotonicidade.
Usamos a regra do quociente:
Usamos a regra do quociente:
Como
para todo
, o sinal de
é o de
:
-
se , -
se .
Passo 4
Classificar extremum em
.
Temos e
muda de negativo para positivo ao passar por
, logo
tem um mínimo local em
.
O valor é
Temos
O valor é
Não há outros pontos críticos, portanto não há máximos locais.
Passo 5
Calcular a segunda derivada e estudar concavidade e inflexões.
Derivando novamente,
Derivando novamente,
O numerador anula em
, que são candidatos a ponto de inflexão. Como
-
para (côncavo para cima), -
para (côncavo para baixo),
essas raízes são de fato pontos de inflexão. Os valores são
logo pontos de inflexão em
e
.
Passo 6
Esboço do gráfico e resumo do comportamento.
A função é par ( ), decresce de
, atinge mínimo em
, cresce em
, muda de concavidade em
e
, e se aproxima da reta
quando
.
A função é par (
Resposta
Local mínimo:
.
Não há máximos locais.
Pontos de inflexão: e
.
Intervalo de crescimento: .
Intervalo de decrescimento: .
Assíntota horizontal: .
Não há assíntotas verticais.
Esboço: curva em “U” com mínimo em , inflexões em
e
, aproximando-se de
.
Não há máximos locais.
Pontos de inflexão:
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Assíntota horizontal:
Não há assíntotas verticais.
Esboço: curva em “U” com mínimo em