Determine o módulo da aceleração de uma partícula no instante t=3 s se sua posição é definida por r(t)=2 t^2 imath-9 ln (t), com r em metros e t em segundos.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cinemática vetorial: a posição de uma partícula é
vec r(t) = 2,t^2,hatimath ;-; 9ln(t),hatjmath
e a gente quer encontrar o módulo da aceleração no instante s.
Conteúdo envolvido: derivadas de vetores (pra achar velocidade e aceleração) e cálculo de módulo de vetor. Vamos precisar saber:
  • Como derivar e .
  • Que velocidade é e aceleração é .
  • Como calcular o módulo de um vetor : .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial:
vec v(t) = dvec rdt = ddtl(2t^2r),hatimath ;-; ddtl(9ln tr),hatjmath
  • Derivada de vec v(t) = 4t,hatimath ;-;9t,hatjmath é (porque ).
  • Derivada de é (pois ).
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Passo 3

Agora, a aceleração é a derivada da velocidade:
vec a(t) = dvec vdt = ddtl(4tr),hatimath ;-; ddtl(9tr),hatjmath
  • vec a(t) = 4,hatimath ;+;9t^2,hatjmath .
  • , mas a gente tinha sinal “–” na frente, então fica .
Portanto

Passo 4

Vamos avaliar em vec a(3) = 4,hatimath ;+;93^2,hatjmath = 4,hatimath + 99,hatjmath = 4,hatimath + 1,hatjmath s:

Passo 5

Pra achar o módulo de llvert vec a(3)rrvert = raiz4^2 + 1^2 = raiz16 + 1 = raiz17 , usamos

Resposta

boxedllvert vec a(3)rrvert = raiz17 m/s^2

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