Determine o módulo e o argumento principal, coloque na forma exponencial e dê a representação gráfica dos números:
1+i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z = 1 + i\sqrt{3} e pede: o módulo \lvert z\rvert, o argumento principal \mathrm{Arg}(z), a forma exponencial e a representação gráfica. Para isso, vamos usar as definições
— módulo: \lvert z\rvert = \sqrt{x^2 + y^2}
— argumento: \tan\theta = y/x e escolher \theta no intervalo (-\pi,\pi]

Passo 2

Calcular o módulo
\lvert z\rvert = \sqrt{1^2 + \bigl(\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 3

Determinar o argumento principal
\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
Como z está no primeiro quadrante, \theta = \pi/3. Logo
\mathrm{Arg}(z) = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

Escrever na forma exponencial
z = \lvert z\rvert \,e^{i\,\mathrm{Arg}(z)} = 2\,e^{i\pi/3}.

Passo 5

Fazer a representação gráfica: no plano complexo, marcamos o ponto de coordenadas (1,\sqrt{3}) e desenhamos o vetor que vai da origem até esse ponto, formando um ângulo \pi/3 com o eixo real positivo.

Resposta

\lvert z\rvert = 2
\mathrm{Arg}(z) = \dfrac{\pi}{3}
z = 2\,e^{i\pi/3}
Gráfico: ponto em (1,\sqrt{3}) e vetor correspondente no plano complexo.

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