Encontre as raízes quadradas de
1-\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes quadradas de 1 - \sqrt{3}\,i. Vamos usar a forma trigonométrica (polar) de números complexos e a propriedade de que, se um número complexo é escrito como r e^{i\theta}, então suas raízes quadradas são
\sqrt{r}\,e^{i\bigl(\frac{\theta}{2}+k\pi\bigr)},\quad k=0,1.

Passo 2

Calcular módulo e argumento de 1 - \sqrt{3}\,i. O módulo é
|1 - \sqrt{3}\,i| = \sqrt{1^2 + \bigl(-\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.
O argumento \theta satisfaz
\cos\theta = \frac{1}{2},\quad \sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2},
logo podemos tomar \theta = -\tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

As raízes quadradas têm módulo \sqrt{2} e argumentos
\frac{\theta}{2} + k\pi = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k=0,1.
Portanto os dois argumentos são -\tfrac{\pi}{6} (para k=0) e -\tfrac{\pi}{6} + \pi = \tfrac{5\pi}{6} (para k=1).

Passo 4

Converter esses dois casos para a forma algébrica:
Para k=0:
z_1 = \sqrt{2}\Bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\Bigr) = \sqrt{2}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\Bigr) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.
Para k=1:
z_2 = \sqrt{2}\Bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{5\pi}{6})\Bigr) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = -z_1.

Resposta

z = \pm\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

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