Encontre as raízes quadradas de
2 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números complexos z tais que
z^2 = 2i.
Esse é um problema de extração de raízes em \mathbb{C}. Vamos usar a forma polar e a fórmula geral para as raízes n-ésimas de um número complexo.

Passo 2

Primeiro convertemos 2i para a forma polar Re^{i\Phi}.
O módulo é
R = |2i| = 2,
e o argumento principal de 2i (o ângulo com o eixo real positivo) é
\Phi = \frac{\pi}{2},
pois 2i está no eixo imaginário positivo. De modo geral podemos escrever
2i = 2\,e^{i\bigl(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\bigr)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para obter as raízes quadradas usamos a fórmula
z_k = \sqrt{R}\;e^{\,i\frac{\Phi + 2\pi k}{2}}, \quad k=0,1
porque a raiz quadrada é a n-ésima raiz com n=2.

Passo 4

Aplicando R=2 e \Phi=\frac{\pi}{2}, temos
\sqrt{R} = \sqrt{2}, \qquad \frac{\Phi + 2\pi k}{2} = \frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k.
Logo as duas raízes são
z_0 = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}, \qquad z_1 = \sqrt{2}\,e^{i\bigl(\frac{\pi}{4}+\pi\bigr)} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}.

Passo 5

Basta agora converter para a forma a+bi.
\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = 1 + i,
\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}} = \sqrt{2}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = -1 - i.

Resposta

As raízes quadradas de 2i são
1 + i \quad\text{e}\quad -1 - i.

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