Determine o modulo e o argumento principal, coloque na forma trigonométrica.
-2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre números complexos! A questão pede para a gente encontrar o módulo e o argumento principal de um número complexo, que é -2i, e depois escrever esse número na forma trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender o que são módulo e argumento de um número complexo, e como representá-lo usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do número complexo. O módulo de um número complexo a + bi é a distância desse número até a origem no plano complexo, e é calculado pela fórmula:
|a + bi| = raiza^2 + b^2
No nosso caso, o número é -2i, que pode ser escrito como 0 - 2i. Então, a = 0 e b = -2. Vamos substituir na fórmula:
| -2i | = raiz0^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 = raiz4 = 2
Então, o módulo é 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento principal do número complexo. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo, medido em radianos. Para calcular o argumento theta, usamos a fórmula:
theta = arctan(ba)
Mas, temos que atenção especial aos quadrantes onde o número está. No caso de -2i = 0 - 2i, vemos que a = 0 e b = -2. Isso significa que o número está diretamente no eixo imaginário negativo. Nesse caso, o ângulo é:
theta = 3pi2 radianos (ou 270 graus)
Então, o argumento principal é 3pi2 radianos.

Passo 4

Agora que temos o módulo e o argumento, podemos escrever o número complexo na forma trigonométrica, que é dada por:
z = r ( cos(theta) + i sin(theta) )
Onde:
  • r é o módulo
  • theta é o argumento principal
Substituindo os valores que encontramos:
-2i = 2 ( cos(3pi2) + i sin(3pi2) )

Resposta

O número complexo -2i na forma trigonométrica é:
-2i = 2 ( cos(3pi2) + i sin(3pi2) )

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