Determine o modulo e o argumento principal, coloque na forma trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre números complexos! A questão pede para a gente encontrar o módulo e o argumento principal de um número complexo, que é
, e depois escrever esse número na forma trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender o que são módulo e argumento de um número complexo, e como representá-lo usando trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo do número complexo. O módulo de um número complexo
é a distância desse número até a origem no plano complexo, e é calculado pela fórmula:
No nosso caso, o número é
, que pode ser escrito como
. Então,
e
. Vamos substituir na fórmula:
Então, o módulo é 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento principal do número complexo. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo, medido em radianos. Para calcular o argumento
, usamos a fórmula:
Mas, temos que atenção especial aos quadrantes onde o número está. No caso de
, vemos que
e
. Isso significa que o número está diretamente no eixo imaginário negativo. Nesse caso, o ângulo é:
Então, o argumento principal é
radianos.
Passo 4
Agora que temos o módulo e o argumento, podemos escrever o número complexo na forma trigonométrica, que é dada por:
Onde:
-
é o módulo -
é o argumento principal
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O número complexo
na forma trigonométrica é: