Determine o módulo campo elétrico E em (1, pi / 2,1) devido ao potencial em coordenadas cilíndricas V(rho, phi, z)=rho^3(z^2+1) cos phi. Todas as grandezas estão no S.I.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico E em (rho,phi,z)=(1,pi/2,1), dado o potencial em coordenadas cilíndricas
V(rho,phi,z)=rho^3,(z^2+1)cosphi
O conteúdo necessário é a relação
E=-nabla V
e a expressão do gradiente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
nabla V =rhopartial Vpartialrho +phi1rhopartial Vpartialphi +zpartial Vpartial z

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial de V:
partial Vpartialrho =3rho^2(z^2+1)cosphi,
partial Vpartialphi =-rho^3(z^2+1)sinphi,
partial Vpartial z =2z,rho^3cosphi

Passo 4

Como E=-nabla V, os componentes são
Erho=-3rho^2(z^2+1)cosphi, Ephi=-1rhol(-rho^3(z^2+1)sinphir) =rho^2(z^2+1)sinphi,
Ez=-2z,rho^3cosphi

Passo 5

Agora avaliamos em rho=1, phi=pi/2 e z=1. Sabendo que cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, obtemos
Erho=0, Ephi=1^2(1+1)cdot1=2, Ez=0,
ou seja
E(1,tfracpi2,1)=2,phi

Passo 6

O módulo do campo é
lVertErVert =raizErho^2+Ephi^2+Ez^2 =raiz0^2+2^2+0^2 =2

Resposta

O módulo do campo elétrico em (1,pi/2,1) é 2 V/m.

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