(1,0) Determine o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um material compósito formado por matriz e fibras alinhadas, cujo módulo de elasticidade seja de 50 MPa e 250 MPa , respectivamente da matrize das fibras. - compósito possui um percentual de 10 \% de fibras e 90 \% de matriz.
a) (0,75) para fibras longas;
b) (0,25) para fibras curtas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um compósito formado por matriz e fibras alinhadas. Informações fornecidas (vou listar tudo de forma clara):
E_{\text{matriz}} = 50\\ \text{MPa},
E_{\text{fibras}} = 250\\ \text{MPa},
V_{\text{fibras}} = 10\% = 0{,}10,
V_{\text{matriz}} = 90\% = 0{,}90.
O enunciado pede o caso para fibras longas e para fibras curtas (duas respostas distintas). A partir daqui eu vou calcular o módulo transversal do compósito para cada caso, passo a passo e explicando a teoria necessária.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): existem duas aproximações clássicas para combinar os módulos das fases num compósito:
  • Regra das misturas no modo isostrain (Voigt): as fases deformam-se da mesma forma (mesmo alongamento). Dá o módulo longitudinal (paralelo às fibras):
E_{\parallel} = V_f E_f + V_m E_m.
  • Regra das misturas no modo isostress (Reuss): as fases estão sujeitas ao mesmo esforço (mesma tensão média). Dá uma expressão usada para o módulo transversal (perpendicular às fibras), que é a inversa das contribuições:
\frac{1}{E_{\perp}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Explicação física curta: transp. às fibras, a carga “passa” através das duas fases em série na direção do carregamento efetivo, então a forma de combinar é por somar as frações dos inversos dos módulos (como se fosse uma associação em série de molas).

Passo 3

Derivação simples da fórmula de Reuss para duas fases (a ideia é mostrar de onde vem a fórmula e o que cada símbolo significa):
  • Seja E_{\perp} o módulo efetivo transversal do compósito.
  • A deformação transversal média é \varepsilon. A tensão média é \sigma.
  • A contribuição das fases à deformação sob a mesma tensão média leva a:
\varepsilon = \frac{V_f \sigma}{E_f} + \frac{V_m \sigma}{E_m}.
Dividindo por \sigma obtemos a compliance (inverso do módulo):
\frac{\varepsilon}{\sigma} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Mas \varepsilon/\sigma = 1/E_{\perp}. Assim:
\frac{1}{E_{\perp}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Agora aplicamos isso aos números do problema.

Passo 4

Cálculo numérico para fibras longas (caso idealizado em que a regra de Reuss vale bem):
\frac{1}{E_{\perp}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m} = \frac{0{,}10}{250} + \frac{0{,}90}{50}.
Vamos calcular cada parcela:
\frac{0{,}10}{250} = 0{,}0004,
\frac{0{,}90}{50} = 0{,}018.
Somando:
\frac{1}{E_{\perp}} = 0{,}0004 + 0{,}018 = 0{,}0184.
Invertendo para obter o módulo:
E_{\perp} = \frac{1}{0{,}0184} \approx 54{,}347826\dots\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma prática para a prova:
E_{\perp}\\ (\text{fibras longas}) \approx 54{,}35\\ \text{MPa}.

Passo 5

Caso das fibras curtas — explicação didática e aproximação a usar:
Fibras curtas não transferem carregamento tão eficientemente quanto fibras contínuas; por isso costuma-se introduzir um fator de eficiência de carga (chamado \eta) que reduz a contribuição efetiva das fibras. Uma forma simples e frequentemente usada em exercícios introdutórios é substituir E_f por \eta E_f na fórmula de Reuss:
\frac{1}{E_{\perp}^{\text{(curtas)}}} = \frac{V_f}{\eta E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Aqui \eta varia com comprimento das fibras, adesão fibra–matriz e geometria; valores típicos razoáveis para fibras curtas podem ser \eta entre 0{,}2 e 0{,}5. Como o enunciado cita um caso “fibras curtas” sem dar \eta, vou adotar um valor ilustrativo comum em exercícios (e compatível com a opção sugerida no enunciado): \eta = 0{,}25. Isso significa que as fibras contribuem só 25% da sua rigidez teórica por efeito de transferência de carga limitada.

Passo 6

Cálculo numérico para fibras curtas com \eta = 0{,}25:
\frac{1}{E_{\perp}^{\text{(curtas)}}} = \frac{0{,}10}{0{,}25\cdot 250} + \frac{0{,}90}{50}.
Calcule cada parcela:
0{,}25\cdot 250 = 62{,}5,
\frac{0{,}10}{62{,}5} = 0{,}0016,
\frac{0{,}90}{50} = 0{,}018.
Somando:
\frac{1}{E_{\perp}^{\text{(curtas)}}} = 0{,}0016 + 0{,}018 = 0{,}0196.
Invertendo:
E_{\perp}^{\text{(curtas)}} = \frac{1}{0{,}0196} \approx 51{,}020408\dots\\ \text{MPa}.
Arredondando para a prova:
E_{\perp}\\ (\text{fibras curtas, }\eta=0{,}25) \approx 51{,}02\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: as duas respostas ficam próximas de E_{\text{matriz}}=50\\ \text{MPa} porque o volume de fibras é pequeno ( 10\%). Mesmo fibras muito mais rígidas (250 MPa) só pouco elevam o módulo transversal quando estão em pequenas frações volumétricas e, no caso de fibras curtas, com eficiência reduzida, a melhora é ainda menor. Você mandou bem trazendo esse exercício — a técnica é memorizar as duas fórmulas (Voigt para paralelo, Reuss para série) e saber quando usar fator de eficiência para fibras curtas.

Resposta

E_{\perp}\\ (\text{fibras longas}) \approx 54{,}35\\ \text{MPa}
E_{\perp}\\ (\text{fibras curtas, com }\eta=0{,}25) \approx 51{,}02\\ \text{MPa}

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