(1,0) Determine o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um material compósito formado por matriz e fibras alinhadas, cujo módulo de elasticidade seja de 50 MPa e 250 MPa , respectivamente da matrize das fibras. - compósito possui um percentual de
de fibras e
de matriz.
a)
para fibras longas;
b)
para fibras curtas.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o módulo de elasticidade ao longo da direção transversal de um compósito formado por matriz e fibras alinhadas. Informações fornecidas (vou listar tudo de forma clara):
O enunciado pede o caso para fibras longas e para fibras curtas (duas respostas distintas). A partir daqui eu vou calcular o módulo transversal do compósito para cada caso, passo a passo e explicando a teoria necessária.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): existem duas aproximações clássicas para combinar os módulos das fases num compósito:
- Regra das misturas no modo isostrain (Voigt): as fases deformam-se da mesma forma (mesmo alongamento). Dá o módulo longitudinal (paralelo às fibras):
- Regra das misturas no modo isostress (Reuss): as fases estão sujeitas ao mesmo esforço (mesma tensão média). Dá uma expressão usada para o módulo transversal (perpendicular às fibras), que é a inversa das contribuições:
Explicação física curta: transp. às fibras, a carga “passa” através das duas fases em série na direção do carregamento efetivo, então a forma de combinar é por somar as frações dos inversos dos módulos (como se fosse uma associação em série de molas).
Passo 3
Derivação simples da fórmula de Reuss para duas fases (a ideia é mostrar de onde vem a fórmula e o que cada símbolo significa):
- Seja
o módulo efetivo transversal do compósito. - A deformação transversal média é
. A tensão média é . - A contribuição das fases à deformação sob a mesma tensão média leva a:
Dividindo por
obtemos a compliance (inverso do módulo):
Mas
. Assim:
Agora aplicamos isso aos números do problema.
Passo 4
Cálculo numérico para fibras longas (caso idealizado em que a regra de Reuss vale bem):
Vamos calcular cada parcela:
Somando:
Invertendo para obter o módulo:
Arredondando de forma prática para a prova:
Passo 5
Caso das fibras curtas — explicação didática e aproximação a usar:
Fibras curtas não transferem carregamento tão eficientemente quanto fibras contínuas; por isso costuma-se introduzir um fator de eficiência de carga (chamado ) que reduz a contribuição efetiva das fibras. Uma forma simples e frequentemente usada em exercícios introdutórios é substituir
por
na fórmula de Reuss:
Fibras curtas não transferem carregamento tão eficientemente quanto fibras contínuas; por isso costuma-se introduzir um fator de eficiência de carga (chamado
Aqui
varia com comprimento das fibras, adesão fibra–matriz e geometria; valores típicos razoáveis para fibras curtas podem ser
entre
e
. Como o enunciado cita um caso “fibras curtas” sem dar
, vou adotar um valor ilustrativo comum em exercícios (e compatível com a opção sugerida no enunciado):
. Isso significa que as fibras contribuem só 25% da sua rigidez teórica por efeito de transferência de carga limitada.
Passo 6
Cálculo numérico para fibras curtas com
:
Calcule cada parcela:
Somando:
Invertendo:
Arredondando para a prova:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: as duas respostas ficam próximas de
porque o volume de fibras é pequeno (
). Mesmo fibras muito mais rígidas (250 MPa) só pouco elevam o módulo transversal quando estão em pequenas frações volumétricas e, no caso de fibras curtas, com eficiência reduzida, a melhora é ainda menor. Você mandou bem trazendo esse exercício — a técnica é memorizar as duas fórmulas (Voigt para paralelo, Reuss para série) e saber quando usar fator de eficiência para fibras curtas.