Determine o módulo do número complexo (1+3 i)^8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o módulo do número complexo (1 + 3i)^8. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, especificamente calculando o módulo e usando propriedades de potências de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o módulo de um número complexo e como aplicar as propriedades de potências nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo do número complexo 1 + 3i. O módulo de um número complexo z = a + bi é dado por:
|z| = raiza^2 + b^2
No nosso caso, a = 1 e b = 3, então:
|1 + 3i| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 3

Agora que temos o módulo de 1 + 3i, queremos encontrar o módulo de (1 + 3i)^8. Existe uma propriedade dos números complexos que diz:
|z^n| = |z|^n
Isso significa que o módulo de um número complexo elevado a uma potência é igual ao módulo desse número complexo elevado à mesma potência.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso:
|(1 + 3i)^8| = |1 + 3i|^8 = (raiz10)^8
Agora, vamos simplificar (raiz10)^8. Lembrando que (raiz10)^8 = (10^1/2)^8 = 10^4 = 10000.

Resposta

O módulo do número complexo (1 + 3i)^8 é 10,000.

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