Determine o módulo do número complexo 11+i tg x onde x neq k pi+pi2 e k in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o módulo do número complexo 11 + i tan x. Estamos lidando com números complexos e operações de módulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um número complexo e como trabalhar com frações envolvendo números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o módulo de um número complexo. Se tivermos um número complexo z = a + ib, onde a e b são números reais, o módulo de z é dado por |z| = raiza^2 + b^2.
No nosso caso, temos o número complexo 11 + i tan x. Para facilitar, vamos chamar o denominador de z = 1 + i tan x.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de z = 1 + i tan x. Aplicando a fórmula do módulo:
|z| = raiz1^2 + (tan x)^2 = raiz1 + tan^2 x
Sabemos que 1 + tan^2 x = sec^2 x (essa é uma identidade trigonométrica básica).

Passo 4

Substituindo, temos:
|z| = raizsec^2 x = |sec x|
Como sec x = 1cos x e considerando que cos x neq 0 (o que é garantido pelo enunciado x neq kpi + pi2), podemos simplificar para:
|z| = 1|cos x|

Passo 5

Agora, queremos encontrar o módulo de 1z. Sabemos que, para qualquer número complexo z, |1z| = 1|z|. Então:
|1z| = 1|z| = 11|cos x| = |cos x|

Resposta

O módulo do número complexo 11 + i tan x é |cos x|.

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