Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o módulo do número complexo . Estamos lidando com números complexos e operações de módulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um número complexo e como trabalhar com frações envolvendo números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o módulo de um número complexo. Se tivermos um número complexo , onde e são números reais, o módulo de é dado por .
No nosso caso, temos o número complexo . Para facilitar, vamos chamar o denominador de .
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo de . Aplicando a fórmula do módulo:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica).
Passo 4
Substituindo, temos:
Como e considerando que (o que é garantido pelo enunciado ), podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o módulo de . Sabemos que, para qualquer número complexo , . Então:
Resposta
O módulo do número complexo 11 + i tan x é |cos x|.