Determine o menor inteiro n>0 de modo que (raiz32+12 i)^n seja real positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o menor número inteiro positivo n tal que (raiz32 + 12i)^n seja um número real positivo. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma trigonométrica: z = r(costheta + isintheta) , onde r é o módulo do número e theta é o argumento (ou ângulo) dele. Nosso objetivo é reescrever raiz32 + 12i nessa forma.

Passo 3

Vamos calcular o módulo r do número complexo:
r = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1
Então, o módulo é 1. Agora, encontramos o ângulo theta :
theta = arctan(12raiz32) = arctan(1raiz3) = pi6
Portanto, podemos escrever:
raiz32 + 12i = cos(pi6) + isin(pi6)

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula de De Moivre que diz:
(costheta + isintheta)^n = cos(ntheta) + isin(ntheta)
Queremos que o resultado seja um número real positivo, ou seja, a parte imaginária deve ser zero e o cosseno deve ser positivo:
sin(ntheta) = 0 e cos(ntheta) > 0
Isso acontece quando ntheta é um múltiplo de 2pi :
n(pi6) = 2pi k Rightarrow n = 12k
Para o menor n > 0 , escolhemos k = 1 :
n = 12

Resposta

O menor inteiro n > 0 que satisfaz a condição é n = 12 .

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