Efetue (1-i)^20.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular (1 - i)^20. Esse problema envolve números complexos e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma polar dos números complexos e a aplicação do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z = a + b i pode ser representado na forma polar como z = r (cos theta + i sin theta), onde:
  • r é o módulo de z, calculado por r = raiza^2 + b^2,
  • theta é o argumento de z, que é o ângulo formado com o eixo real positivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao número 1 - i:
  • Aqui, a = 1 e b = -1,
  • Calculando o módulo: r = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2,
  • Calculando o argumento: theta = arctan(ba) = arctan(-11) = -pi4 (ou 315^circ).
Então, podemos escrever 1 - i na forma polar:
1 - i = raiz2 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

Passo 4

Agora, vamos elevar esse número à potência 20 usando o Teorema de De Moivre, que diz que:
[r (cos theta + i sin theta)]^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
onde n é um número inteiro.
Aplicando isso a (1 - i)^20:
  • r = raiz2,
  • theta = -pi4,
  • n = 20.
Então:
(1 - i)^20 = (raiz2)^20 ( cos(20 times -pi4) + i sin(20 times -pi4) )

Passo 5

Calculando cada parte:
  • (raiz2)^20 = (2)^10 = 1024,
  • 20 times -pi4 = -5pi.
Como cos(-5pi) = cos(pi) = -1 e sin(-5pi) = sin(pi) = 0, temos:
(1 - i)^20 = 1024 ( -1 + i times 0 ) = -1024

Resposta

(1 - i)^20 = -1024

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