Determine o módulo dos seguintes números complexos:
\frac{(\sqrt{3}+i)(1-3 i)}{\sqrt{5}}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do número complexo
\frac{(\sqrt{3}+i)(1-3i)}{\sqrt{5}}.
O conteúdo é módulo de número complexo e vamos usar as propriedades \lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\cdot\lvert z_2\rvert e \bigl\lvert \tfrac{z_1}{z_2}\bigr\rvert = \tfrac{\lvert z_1\rvert}{\lvert z_2\rvert}.

Passo 2

Aplicando
\left\lvert\frac{(\sqrt{3}+i)(1-3i)}{\sqrt{5}}\right\rvert = \frac{\lvert(\sqrt{3}+i)(1-3i)\rvert}{\lvert\sqrt{5}\rvert} = \frac{\lvert\sqrt{3}+i\rvert\;\lvert1-3i\rvert}{\sqrt{5}},
já que \sqrt{5} é real positivo.

Passo 3

Calculamos os módulos individuais:
\lvert\sqrt{3}+i\rvert = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2,
\lvert1-3i\rvert = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}.
Portanto
\lvert(\sqrt{3}+i)(1-3i)\rvert = 2\sqrt{10}.

Passo 4

Substituindo no quociente:
\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\,\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{\frac{10}{5}} = 2\sqrt{2}.

Resposta

O módulo é 2\sqrt{2}.

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