Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
. Se
é um polinômio não nulo fixado em
, quais das seguintes transformações são lineares? Justifique.
,
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
dos polinômios de grau ≤
, e fixa um polinômio não nulo
Queremos estudar a transformação
e verificar se ela é linear (i.e.\ se preserva soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Lembrando a definição, um operador
é linear se, para quaisquer polinômios
e escalar
, vale
Passo 3
Calculemos
:
E para a homogeneidade,
Logo,
satisfaz ambas as propriedades.
Passo 4
Contudo, note que
. Se
, então alguns
terão grau
, saindo de
. Portanto, como aplicação em
,
só está bem definida em
quando
, i.e.\ quando
é constante não nula.
Resposta
A transformação
é sempre linear (pois preserva soma e escalar), mas é um operador endógeno em
somente se
for constante (grau zero).