Seja V=P_{n} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n. Se g(x) é um polinômio não nulo fixado em V, quais das seguintes transformações são lineares? Justifique.
T(p(x))=g(x) p(x),

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = P_{n}
dos polinômios de grau ≤ n, e fixa um polinômio não nulo
g(x)\in V.
Queremos estudar a transformação
T\colon V\to V,\quad T\bigl(p(x)\bigr)=g(x)\,p(x)
e verificar se ela é linear (i.e.\ se preserva soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Lembrando a definição, um operador T é linear se, para quaisquer polinômios p_{1},p_{2}\in V e escalar \alpha, vale
T(p_{1}+p_{2}) \;=\; T(p_{1}) + T(p_{2}),
T(\alpha\,p_{1}) \;=\; \alpha\,T(p_{1}).

Passo 3

Calculemos T(p_{1}+p_{2}):
T(p_{1}+p_{2}) = g(x)\,\bigl(p_{1}(x)+p_{2}(x)\bigr) = g(x)\,p_{1}(x) + g(x)\,p_{2}(x) = T(p_{1}) + T(p_{2}).
E para a homogeneidade,
T\bigl(\alpha\,p_{1}\bigr) = g(x)\,\bigl(\alpha\,p_{1}(x)\bigr) = \alpha\bigl(g(x)\,p_{1}(x)\bigr) = \alpha\,T(p_{1}).
Logo, T satisfaz ambas as propriedades.

Passo 4

Contudo, note que \deg\bigl(g\,p\bigr)=\deg(g)+\deg(p). Se \deg(g)>0, então alguns T(p) terão grau >n, saindo de P_{n}. Portanto, como aplicação em V=P_{n}, T só está bem definida em V quando \deg(g)=0, i.e.\ quando g(x) é constante não nula.

Resposta

A transformação T(p)=g\,p é sempre linear (pois preserva soma e escalar), mas é um operador endógeno em P_{n} somente se g for constante (grau zero).

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