Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo
, vale
O conteúdo aqui é a relação entre a parte real de
e o seu módulo. Vamos usar a definição de módulo e a propriedade do valor absoluto em
.
Passo 2
Pela definição de módulo de um complexo, se escrevemos
com
e
, então
Como
, temos
Logo
Passo 3
Em
vale sempre
, pois o valor absoluto de um real é maior ou igual ao próprio real. Assim
Passo 4
Combinando as duas desigualdades
chegamos à conclusão desejada.