Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
\operatorname{Re}(z) \leq|z|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
\Re(z)\le |z|.
O conteúdo aqui é a relação entre a parte real de z e o seu módulo. Vamos usar a definição de módulo e a propriedade do valor absoluto em \mathbb{R}.

Passo 2

Pela definição de módulo de um complexo, se escrevemos z=x+iy com x=\Re(z) e y=\Im(z), então
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Como x^2 + y^2 \ge x^2, temos
|z| = \sqrt{x^2+y^2}\;\ge\;\sqrt{x^2} = |x|.
Logo
|z|\ge |\,\Re(z)\,|.

Passo 3

Em \mathbb{R} vale sempre \Re(z)\le |\,\Re(z)\,|, pois o valor absoluto de um real é maior ou igual ao próprio real. Assim
\Re(z)\le |\,\Re(z)\,|.

Passo 4

Combinando as duas desigualdades
\Re(z)\;\le\;|\,\Re(z)\,|\;\le\;|z|,
chegamos à conclusão desejada.

Resposta

\Re(z)\le|z| para todo z\in\mathbb{C}.

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