Encontre uma transformação linear
tal que
e cujo núcleo seja gerado pelo vetor
.
Passo 1
Resumindo, queremos
com
e
, tal que
e
Pelo teorema do posto e da nulidade, isso bate
. Vamos construir
definindo sua ação na base canônica.
Passo 2
Para garantir que
, basta fazer
Agora escolhemos
e
de modo a gerar exatamente o subespaço desejado. Assim, definimos
Passo 3
Com isso, para um vetor genérico
temos
Logo
Dessa forma a imagem de
é claramente
e a equação
dá
e
, mas
fica livre, mostrando
.
Passo 4
Em coordenadas da base canônica, a matriz de
é obtida pegando as colunas
,
,
. Assim,
Resposta
Uma transformação que satisfaz as condições é
cuja matriz na base canônica é