Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\operatorname{Im}(T)=[(1,-1,1),(2,0,1)]
e cujo núcleo seja gerado pelo vetor (0,0,1).

Passo 1

Resumindo, queremos T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com \dim\ker T=1 e \dim\operatorname{Im}T=2, tal que
\operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,-1,1),(2,0,1)\},
e
\ker(T)=\mathrm{span}\{(0,0,1)\}.
Pelo teorema do posto e da nulidade, isso bate 2+1=3. Vamos construir T definindo sua ação na base canônica.

Passo 2

Para garantir que \ker(T)=\mathrm{span}\{(0,0,1)\}, basta fazer
T(0,0,1)=(0,0,0).
Agora escolhemos T(1,0,0) e T(0,1,0) de modo a gerar exatamente o subespaço desejado. Assim, definimos
T(1,0,0)=(1,-1,1), \quad T(0,1,0)=(2,0,1).

Passo 3

Com isso, para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
T(x,y,z) = x\,T(1,0,0) + y\,T(0,1,0) + z\,T(0,0,1) = x(1,-1,1) + y(2,0,1) + z(0,0,0).
Logo
T(x,y,z) = (\,x+2y,\,-x,\;x+y\,).
Dessa forma a imagem de T é claramente \mathrm{span}\{(1,-1,1),(2,0,1)\} e a equação T(x,y,z)=(0,0,0) x=0 e y=0, mas z fica livre, mostrando \ker T=\{(0,0,z)\}=\mathrm{span}\{(0,0,1)\}.

Passo 4

Em coordenadas da base canônica, a matriz de T é obtida pegando as colunas T(e_1), T(e_2), T(e_3). Assim,
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

Uma transformação que satisfaz as condições é
T(x,y,z) = (\,x+2y,\,-x,\;x+y\,),
cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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