Determine o Momento de Inércia de um cilindro oco de raio interno
e raio externo
em torno do seu eixo de simetria. A partir do resultado anterior, comente e mostre como fica o resultado para o cilindro maciço
e para uma casca cilíndrica muito fina (
). Faça os esquemas e as considerações necessárias para a demonstração.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o momento de inércia de um cilindro oco (com raio interno
e externo
) girando em torno do seu eixo. Isso é assunto de Física – momento de inércia – e a gente vai usar a definição
mais a ideia de que o cilindro é homogêneo (mesma densidade em todo lugar). Precisamos só: 1) relacionar massa e densidade volumétrica, 2) escolher um elemento de volume
numa “casquinha” cilíndrica de raio
, 3) montar
e integrar de
até
.
Passo 2
Primeiro, bateu a densidade volumétrica
. O volume total do anel cilíndrico de altura
é
Como a massa total é
,
Passo 3
Agora escolhemos uma “fatia” cilíndrica entre
e
. O volume dessa fatia é
A massa dessa fatia é
Passo 4
Na definição de momento de inércia, cada fatia contribui com
Integramos de
a
:
Passo 5
Substituindo
, vem
E note que
logo
Passo 6
Agora os casos especiais:
- Cilindro maciço (
): que é o resultado clássico. - Casca muito fina (
): ou seja, todo mundo concentrado praticamente a raio .
Resposta
Para
dá
e para casca fina (
) dá
.