Determine o Momento de Inércia de um cilindro oco de raio interno r1 e raio externo R2 em torno do seu eixo de simetria. A partir do resultado anterior, comente e mostre como fica o resultado para o cilindro maciço (r1=0) e para uma casca cilíndrica muito fina ( r1 approx R2 ). Faça os esquemas e as considerações necessárias para a demonstração.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o momento de inércia de um cilindro oco (com raio interno I = integral r^2,dm e externo ) girando em torno do seu eixo. Isso é assunto de Física – momento de inércia – e a gente vai usar a definição
mais a ideia de que o cilindro é homogêneo (mesma densidade em todo lugar). Precisamos só: 1) relacionar massa e densidade volumétrica, 2) escolher um elemento de volume numa “casquinha” cilíndrica de raio , 3) montar e integrar de até .

Passo 2

Primeiro, bateu a densidade volumétrica V = pil(R2^2 - r1^2r),L . O volume total do anel cilíndrico de altura rho = MV = Mpi (R2^2 - r1^2),L é
Como a massa total é ,

Passo 3

Agora escolhemos uma “fatia” cilíndrica entre dV = (circunferência 2pi r)times(a e dm = rho,dV = rho,2pi r L,dr . O volume dessa fatia é
ê
A massa dessa fatia é

Passo 4

Na definição de momento de inércia, cada fatia contribui com
dI = r^2,dm = r^2l(rho,2pi r L,drr) = 2pirho L,r^3,dr
Integramos de I = integralr1^R22pirho L,r^3,dr = 2pirho L[r^44]r1^R2 = pirho L2l(R2^4 - r1^4r) a :

Passo 5

Substituindo I = pi L2,Mpi (R2^2 - r1^2)L l(R2^4 - r1^4r) = M2,R2^4 - r1^4R2^2 - r1^2 , vem
R2^4 - r1^4 = (R2^2 - r1^2)(R2^2 + r1^2),
E note que
I = M2,(R2^2 + r1^2)
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Passo 6

Agora os casos especiais:
  • Cilindro maciço ( I = tfrac12M(R2^2 + 0^2)=tfrac12 M R2^2, ): Iapprox tfrac12M(R^2+R^2)=M,R^2, que é o resultado clássico.
  • Casca muito fina ( ): ou seja, todo mundo concentrado praticamente a raio .

Resposta

boxedI = 12,M,(R2^2 + r1^2)
Para e para casca fina ( ) dá .

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