Determine o momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo de raio R e comprimento L em relação ao seu eixo central. Depois, determine o momento de inércia para um cilindro oco de mesma massa.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer duas coisas:
  1. O momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo (raio , comprimento , massa ) em relação ao eixo central.
  2. O momento de inércia do cilindro oco (mesma massa , mesmo raio e comprimento ), assumindo que toda a massa fica numa casca fina.
Conteúdo: momento de inércia, definição , densidade volumétrica, coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Teoria e definição do sólido:
  • Momento de inércia é a “inércia” à rotação, dado por I = integral r^2,dm, onde rho = MVolume = Mpi R^2,L é a distância de cada pedacinho de massa dm = rho,dV = rho;r,dr,dtheta,dz ao eixo.
  • Para o cilindro sólido homogêneo, a densidade volumétrica é constante:
  • Num elemento pequeno de volume, usamos coordenadas cilíndricas :

Passo 3

Montando e resolvendo a integral para o sólido:
I = integral r^2,dm = rho integral!V r^2,dV = rho integralz=0^Lintegraltheta=0^2piintegralr=0^R r^2,(r,dr,dtheta,dz)
Separe as integrais:
  1. I = rho ;R^44;(2pi);(L) = Mpi R^2 L;R^44;2pi L = 12,M,R^2

  2. Então

Passo 4

Cilindro oco (casca fina) de massa I = integral r^2,dm = R^2 integral dm = R^2,M :
  • Toda a massa está a uma distância fixa do eixo.
  • Logo

Resposta

Cilindro sólido homogêneo:
boxedIrm sólido = tfrac12,M,R^2 ó
Cilindro oco (casca fina) de mesma massa:
boxedIrm oco = M,R^2

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