Determine o momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo de raio
e comprimento
em relação ao seu eixo central. Depois, determine o momento de inércia para um cilindro oco de mesma massa.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer duas coisas:
- O momento de inércia
de um cilindro sólido homogêneo (raio , comprimento , massa ) em relação ao eixo central. - O momento de inércia do cilindro oco (mesma massa
, mesmo raio e comprimento ), assumindo que toda a massa fica numa casca fina.
Conteúdo: momento de inércia, definição
, densidade volumétrica, coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Teoria e definição do sólido:
- Momento de inércia é a “inércia” à rotação, dado por
onde é a distância de cada pedacinho de massa ao eixo. - Para o cilindro sólido homogêneo, a densidade volumétrica é constante:
- Num elemento pequeno de volume, usamos coordenadas cilíndricas
:
Passo 3
Montando e resolvendo a integral para o sólido:
Separe as integrais:
-
-
-
Então
Passo 4
Cilindro oco (casca fina) de massa
:
- Toda a massa está a uma distância fixa
do eixo. - Logo
Resposta
Cilindro sólido homogêneo:
Cilindro oco (casca fina) de mesma massa: