Um disco está girando com uma velocidade angular omega0 e é submetido a um torque constante tau. Determine o tempo necessário para que ele pare completamente e a quantidade de voltas que ele realiza antes de parar.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre um disco que está girando com uma certa velocidade angular inicial, chamada omega0, e de repente ele começa a sofrer um torque constante, tau. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo esse disco vai levar para parar completamente e quantas voltas ele dá antes de parar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica rotacional, que é a parte da física que estuda o movimento de objetos que giram.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( tau) é uma força que causa uma aceleração angular ( alpha). A relação entre eles é dada pela fórmula:
tau = I cdot alpha
Aqui, I é o momento de inércia do disco, que depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Nosso objetivo é encontrar alpha, então vamos rearranjar a fórmula:
alpha = tauI

Passo 3

Sabemos que o disco está desacelerando até parar, ou seja, sua velocidade angular final ( omegaf) será 0. A relação entre a velocidade angular inicial ( omega0), a aceleração angular ( alpha), e o tempo ( t) é dada por:
omegaf = omega0 + alpha cdot t
Como omegaf = 0, podemos escrever:
0 = omega0 + alpha cdot t

Passo 4

Agora, substituímos alpha pela expressão que encontramos antes:
0 = omega0 + (tauI) cdot t
Resolvendo para t:
t = -omega0 cdot Itau
Como tempo não pode ser negativo, consideramos o módulo:
t = omega0 cdot Itau

Passo 5

Para encontrar a quantidade de voltas ( N) que o disco dá antes de parar, usamos a relação entre a velocidade angular, a aceleração angular e o deslocamento angular ( theta):
omegaf^2 = omega0^2 + 2 cdot alpha cdot theta
Novamente, como omegaf = 0, temos:
0 = omega0^2 + 2 cdot alpha cdot theta
Resolvendo para theta:
theta = -omega0^22 cdot alpha
Substituindo alpha = tauI:
theta = -omega0^22 cdot (tauI) = -omega0^2 cdot I2 tau
De novo, consideramos apenas o valor positivo:
theta = omega0^2 cdot I2 tau
Como uma volta completa é 2pi radianos, a quantidade de voltas é:
N = theta2pi = omega0^2 cdot I4 pi tau

Resposta

O tempo necessário para o disco parar completamente é t = omega0 cdot Itau e ele realiza N = omega0^2 cdot I4 pi tau voltas antes de parar.

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