Um disco está girando com uma velocidade angular
e é submetido a um torque constante
. Determine o tempo necessário para que ele pare completamente e a quantidade de voltas que ele realiza antes de parar.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre um disco que está girando com uma certa velocidade angular inicial, chamada
, e de repente ele começa a sofrer um torque constante,
. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo esse disco vai levar para parar completamente e quantas voltas ele dá antes de parar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica rotacional, que é a parte da física que estuda o movimento de objetos que giram.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque (
) é uma força que causa uma aceleração angular (
). A relação entre eles é dada pela fórmula:
Aqui,
é o momento de inércia do disco, que depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Nosso objetivo é encontrar
, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 3
Sabemos que o disco está desacelerando até parar, ou seja, sua velocidade angular final (
) será 0. A relação entre a velocidade angular inicial (
), a aceleração angular (
), e o tempo (
) é dada por:
Como
, podemos escrever:
Passo 4
Agora, substituímos
pela expressão que encontramos antes:
Resolvendo para
:
Como tempo não pode ser negativo, consideramos o módulo:
Passo 5
Para encontrar a quantidade de voltas (
) que o disco dá antes de parar, usamos a relação entre a velocidade angular, a aceleração angular e o deslocamento angular (
):
Novamente, como
, temos:
Resolvendo para
:
Substituindo
:
De novo, consideramos apenas o valor positivo:
Como uma volta completa é
radianos, a quantidade de voltas é:
Resposta
O tempo necessário para o disco parar completamente é
e ele realiza
voltas antes de parar.