( 4,0 pontos) Calcule a resposta x(t) de um sistema com massa m=2 \mathrm{~kg}, c=16 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, k=3200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Considere velocidade inicial igual a zero e deslocamento inicial de 0,01 m.

Passo 1

O enunciado pede a resposta livre x(t) de um sistema massa-mola-amortecedor sem excitação externa, com
m=2\,\mathrm{kg}, c=16\,\mathrm{Ns/m}, k=3200\,\mathrm{N/m} e condições iniciais
\;x(0)=0,01\,\mathrm m, \dot x(0)=0. Vamos usar a equação diferencial
m\ddot x + c\dot x + kx = 0
e a teoria de sistemas de segunda ordem subamortecidos.

Passo 2

Primeiro calculamos a frequência natural \omega_n e o coeficiente de amortecimento crítico c_c:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{3200}{2}} = 40\;\mathrm{rad/s},
c_c = 2m\,\omega_n = 2\cdot2\cdot40 = 160\;\mathrm{Ns/m}.
O coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento) é
\zeta = \frac{c}{c_c} = \frac{16}{160} = 0{,}1,
ou seja, 0<\zeta<1: regime subamortecido.

Passo 3

No regime subamortecido, a frequência amortecida é
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 40\sqrt{1-0{,}1^2} = 40\sqrt{0{,}99} \approx 39{,}8\;\mathrm{rad/s}.

Passo 4

A solução geral subamortecida é
x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr).
Aplicando x(0)=0,01
C_1 = 0,01.
Derivando e impondo \dot x(0)=0 resulta em
\dot x(0) = -\zeta\omega_n C_1 + \omega_d C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{\zeta\omega_n\,C_1}{\omega_d} = \frac{4\cdot0,01}{39{,}8} \approx 0,001005.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 em x(t), obtemos
x(t) = e^{-4t}\bigl(0{,}01\cos(39{,}8\,t)+0{,}001005\sin(39{,}8\,t)\bigr)\;\mathrm m.

Resposta

x(t) = e^{-4t}\Bigl(0,01\cos(39,8\,t)+0,001005\sin(39,8\,t)\Bigr)\,\mathrm m.

Exercícios relacionados