Determine o momento de inércia de um quadrado de massa M, rodando em torno de seu centro (a) calculando diretamente a integral e (b) utilizando a fórmula do exercício anterior.

Passo 1

Temos um quadrado uniforme de lado a e massa M, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro. O conteúdo é momento de inércia de lâmina fina, e vamos precisar da definição I=integral r^2,dm, da densidade superficial e integral dupla. Também vamos usar a fórmula do exercício anterior para uma placa retangular.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com a origem no centro do quadrado e eixos x e y alinhados aos lados. A densidade superficial é sigma=Ma^2 e dm=sigma,dx,dy. A distância ao eixo é r^2=x^2+y^2, então
I=integral dupla(x^2+y^2),dm=sigmaintegral- a2^ a2integral- a2^ a2(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Calculamos separadamente
integral- a2^ a2x^2,dx=a^312, integral- a2^ a2y^2,dy=a^312, integral- a2^ a2dx= a
Então
integral dupla(x^2+y^2),dx,dy=a^312cdot a+a^312cdot a=a^46

Passo 4

Multiplicando pela densidade:
I=sigmaa^46=Ma^2cdota^46=Ma^26

Passo 5

Usando a fórmula do exercício anterior para uma placa retangular de lados a e b em torno de eixo central, I=tfrac112M(a^2+b^2). No caso de quadrado a=b, fica
I=112M( a^2 + a^2 )=Ma^26

Resposta

Para ambos (a) e (b) obtém-se: I=Ma^26.

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