Determine o momento de inércia de um quadrado de massa
, rodando em torno de seu centro (a) calculando diretamente a integral e (b) utilizando a fórmula do exercício anterior.
Passo 1
Temos um quadrado uniforme de lado
e massa
, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro. O conteúdo é momento de inércia de lâmina fina, e vamos precisar da definição
, da densidade superficial e integral dupla. Também vamos usar a fórmula do exercício anterior para uma placa retangular.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com a origem no centro do quadrado e eixos
e
alinhados aos lados. A densidade superficial é
e
. A distância ao eixo é
, então
Passo 3
Calculamos separadamente
Então
Passo 4
Multiplicando pela densidade:
Passo 5
Usando a fórmula do exercício anterior para uma placa retangular de lados
e
em torno de eixo central,
. No caso de quadrado
, fica
Resposta
Para ambos (a) e (b) obtém-se:
.