Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=x y

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x y e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos no domínio (que é ℝ²). Vamos usar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=x y, temos
fx=partialpartial x(xy)=y
fy=partialpartial y(xy)=x

Passo 3

Encontre os pontos onde as derivadas parciais se anulam. O sistema é
y=0
x=0
Daí vem o único ponto crítico: (x,y)=(0,0).

Passo 4

Para classificar, monte a matriz Hessiana H:
fxx=0, fxy=1, fyy=0
Então
D=det(H)=fxxfyy-(fxy)^2=0cdot0-1^2=-1<0
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.

Passo 5

Verifique se há extremos absolutos. Note que ao longo de y=x, f(x,x)=x^2→+∞ quando x→±∞, e ao longo de y=−x, f(x,−x)=−x^2→−∞. Logo, f não atinge nem máximo nem mínimo absolutos em ℝ².

Resposta

Ponto crítico em (0,0), classificado como ponto de sela. Não há máximos nem mínimos absolutos no domínio.

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