Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x y e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos no domínio (que é ℝ²). Vamos usar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=x y, temos
Passo 3
Encontre os pontos onde as derivadas parciais se anulam. O sistema é
Daí vem o único ponto crítico: (x,y)=(0,0).
Passo 4
Para classificar, monte a matriz Hessiana H:
Então
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.
Passo 5
Verifique se há extremos absolutos. Note que ao longo de y=x, f(x,x)=x^2→+∞ quando x→±∞, e ao longo de y=−x, f(x,−x)=−x^2→−∞. Logo, f não atinge nem máximo nem mínimo absolutos em ℝ².
Resposta
Ponto crítico em (0,0), classificado como ponto de sela. Não há máximos nem mínimos absolutos no domínio.