Utilizando o resultado anterior, mostre que o momento de inércia de um polígono arbitrário de massa que contém a origem, rodando em um eixo perpendicular ao plano sobre a origem é
onde os vetores representam a posição de cada vértice do polígono.
Passo 1
O problema pede o momento de inércia de um polígono de massa que contém a origem, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano pelo ponto de origem. Vamos usar o resultado anterior para o momento de inércia de um triângulo e decompor o polígono em triângulos.
Passo 2
Para calcular , dividimos o polígono em triângulos, cada um formado pela origem e pelos vértices e . O momento total será a soma dos momentos de cada triângulo.
Pelo resultado anterior, o momento de inércia do -ésimo triângulo acerca da origem é
A área desse triângulo é
Seja A a área total do polígono e rho= M/A a densidade de massa superficial.
Passo 3
A massa do triângulo i é mi=rho,Ai. Substituindo em Itriang<=i obtemos