Utilizando o resultado anterior, mostre que o momento de inércia de um polígono arbitrário de massa M que contém a origem, rodando em um eixo perpendicular ao plano sobre a origem é
I=M6 sumi=1^N-1|vi times vi+1|(|vi|^2+vi cdot vi+1+|vi+1|^2)sumi=1^N-1|vi times vi+1|
onde os vetores vi representam a posição de cada vértice do polígono.

Passo 1

O problema pede o momento de inércia de um polígono de massa M que contém a origem, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano pelo ponto de origem. Vamos usar o resultado anterior para o momento de inércia de um triângulo e decompor o polígono em triângulos.

Passo 2

Para calcular I, dividimos o polígono em N-1 triângulos, cada um formado pela origem e pelos vértices vi e vi+1. O momento total será a soma dos momentos de cada triângulo.
Pelo resultado anterior, o momento de inércia do i-ésimo triângulo acerca da origem é
Itriang<=i = mi6l(| vi|^2 + vicdot vi+1 + | vi+1|^2r)
A área desse triângulo é
Ai = l| vitimes vi+1r|2
Seja A a área total do polígono e rho= M/A a densidade de massa superficial.

Passo 3

A massa do triângulo i é mi=rho,Ai. Substituindo em Itriang<=i obtemos
Itriang<=i=rho,Ai6l(| vi|^2 + vicdot vi+1 + | vi+1|^2r)
Somando todas as contribuições:
I = sumi=1^N-1 Itriang<=i = rho6sumi=1^N-1 Ail(| vi|^2 + vicdot vi+1 + | vi+1|^2r)
Como A=sum Ai, temos rho=M/A.

Passo 4

Agora substituímos Ai=| vitimes vi+1|/2 e A=tfrac12sumi=1^N-1| vitimes vi+1|. Então
I=M6Asumi=1^N-1Ail(| vi|^2 + vicdot vi+1 + | vi+1|^2r) =M6sumi=1^N-1| vitimes vi+1|l(| vi|^2 + vicdot vi+1 + | vi+1|^2r)sumi=1^N-1| vitimes vi+1|
Portanto chegamos à expressão desejada para o momento de inércia do polígono.

Resposta

I=M6,sumi=1^N-1l| vitimes vi+1r|l(| vi|^2+ vicdot vi+1+| vi+1|^2r)sumi=1^N-1l| vitimes vi+1r|

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