Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
Passo 1
Resumo do problema: Precisamos encontrar os pontos críticos da função
, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais se anulam, depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela) e por fim verificar se existe algum extremo absoluto no domínio
.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais: derivamos
em relação a
e
:
Passo 3
Resolução do sistema
e
:
Temos as condições
Analisando as quatro combinações, obtemos os pontos:
Passo 4
Construção da matriz Hessiana e seu determinante: definimos
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Classificação dos pontos críticos: avaliaremos
e
em cada ponto:
(0,0):
→ ponto de sela.
(1,0):
→ ponto de sela.
(0,1):
→ ponto de sela.
(\tfrac13,\tfrac13):
e
→ mínimo local.
Passo 6
Análise de extremos absolutos: como
é um polinômio de grau 3 não restrito em
, seus valores tendem a
ou
em direções diferentes, logo não há máximo ou mínimo absoluto no domínio.
Resposta
Pontos críticos: (0,0), (1,0), (0,1) e (1/3,1/3). Os três primeiros são pontos de sela e (1/3,1/3) é um mínimo local com valor f(1/3,1/3)=−1/27. Não há extremos absolutos em
.