Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=x y^2+x^2 y-x y

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos encontrar os pontos críticos da função z=f(x,y)=x y^2 + x^2 y - x y, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais se anulam, depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela) e por fim verificar se existe algum extremo absoluto no domínio R^2.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais: derivamos f em relação a x e y:
fx=partial fpartial x=y^2+2xy-y=y,(y+2x-1),
fy=partial fpartial y=2xy+x^2-x=x,(2y+x-1)

Passo 3

Resolução do sistema fx=0 e fy=0:
Temos as condições
y=0ou y+2x-1=0,
x=0ou 2y+x-1=0
Analisando as quatro combinações, obtemos os pontos:
(0,0),;(1,0),;(0,1) e l(tfrac13,tfrac13r)

Passo 4

Construção da matriz Hessiana e seu determinante: definimos
fxx=2y, fyy=2x, fxy=2y+2x-1
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-fxy^2=4xy-(2y+2x-1)^2

Passo 5

Classificação dos pontos críticos: avaliaremos D e fxx em cada ponto:
(0,0): D=0-( -1)^2=-1<0 → ponto de sela.
(1,0): D=0-(1)^2=-1<0 → ponto de sela.
(0,1): D=0-(1)^2=-1<0 → ponto de sela.
(\tfrac13,\tfrac13): D=4cdottfrac13cdottfrac13-(tfrac13)^2=tfrac49-tfrac19=tfrac13>0 e fxx=2y=tfrac23>0 → mínimo local.

Passo 6

Análise de extremos absolutos: como f(x,y) é um polinômio de grau 3 não restrito em R^2, seus valores tendem a +infty ou -infty em direções diferentes, logo não há máximo ou mínimo absoluto no domínio.

Resposta

Pontos críticos: (0,0), (1,0), (0,1) e (1/3,1/3). Os três primeiros são pontos de sela e (1/3,1/3) é um mínimo local com valor f(1/3,1/3)=−1/27. Não há extremos absolutos em R^2.

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