Determine o momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, do sólido interior ao cone z=raizx^2+y^2 e ao paraboloide z=6-x^2-y^2. (Considere a densidade constante rho )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o momento de inércia em torno do eixo de simetria de um sólido que está dentro de um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e de um paraboloide dado por $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais múltiplas, e entender como mudar para coordenadas cilíndricas pra facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo específico. Quanto mais longe a massa estiver desse eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ em relação ao eixo $ z $ é:
I
Aqui, $ \rho $ é a densidade constante, $ r $ é a distância do elemento de volume $ dV $ ao eixo $ z $, e $ V $ é o volume do sólido.

Passo 3

Como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, $ r $ é a distância radial, $ \theta $ é o ângulo, e $ z $ é a altura. A gente também sabe que $ dV $ em coordenadas cilíndricas é dado por:
r
Então, nossa fórmula para o momento de inércia fica:
Onde $ R(z) $ é a função que descreve o raio em função de $ z $, e $ z_{cone} $ e $ z_{paraboloide} $ são as funções que delimitam a altura.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites de integração. Precisamos determinar até onde o cone e o paraboloide se sobrepõem. Igualando as duas equações:
raizx^2 + y^2 = 6 - x^2 - y^2
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
r = 6 - r^2
Resolvendo para $ r $:
r
Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + r - 6 = 0
Desconsideramos a solução negativa, então $ r = 2 $. E substituindo em $ z = r $, temos $ z = 2 $.

Passo 5

Com isso, sabemos que o sólido está limitado por $ z $ de 0 a 2. Para cada $ z $ nesse intervalo, o raio $ r $ vai de 0 a 2. Então, nossa integral fica:
z

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Então, nossa integral fica:
integralr^6 - r^2 dz = (6 - r^2) - r = 6 - r^2 - r

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
r^3(6 - r^2 - r) = 6r^3 - r^5 - r^4
Então, a integral se torna:
I = rho integral0^2pi integral0^2 (6r^3 - r^5 - r^4) , dr , dtheta

Passo 8

Integramos agora em relação a $ r $:
r
integral0^2 6r^3 , dr = 6 cdot [r^44]0^2 = 6 cdot (164) = 6 cdot 4 = 24
integral0^2 r^5 , dr = [r^66]0^2 = 646 = 323
Substituindo de volta:
integral0^2 r^4 , dr = [r^55]0^2 = 325

Passo 9

Calculando os valores:
24 - 323 - 325 = 36015 - 16015 - 9615 = 10415
Então, a integral fica:
I = rho integral0^2pi 10415 , dtheta = rho cdot 10415 cdot 2pi = 208pi15 rho

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo de simetria é $ I = \frac{208\pi}{15} \rho $.

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