Determine o momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, do sólido interior ao cone
e ao paraboloide
. (Considere a densidade constante
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o momento de inércia em torno do eixo de simetria de um sólido que está dentro de um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e de um paraboloide dado por $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais múltiplas, e entender como mudar para coordenadas cilíndricas pra facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo específico. Quanto mais longe a massa estiver desse eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ em relação ao eixo $ z $ é:
Aqui, $ \rho $ é a densidade constante, $ r $ é a distância do elemento de volume $ dV $ ao eixo $ z $, e $ V $ é o volume do sólido.
Passo 3
Como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, $ r $ é a distância radial, $ \theta $ é o ângulo, e $ z $ é a altura. A gente também sabe que $ dV $ em coordenadas cilíndricas é dado por:
Então, nossa fórmula para o momento de inércia fica:
Onde $ R(z) $ é a função que descreve o raio em função de $ z $, e $ z_{cone} $ e $ z_{paraboloide} $ são as funções que delimitam a altura.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites de integração. Precisamos determinar até onde o cone e o paraboloide se sobrepõem. Igualando as duas equações:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Resolvendo para $ r $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Desconsideramos a solução negativa, então $ r = 2 $. E substituindo em $ z = r $, temos $ z = 2 $.
Passo 5
Com isso, sabemos que o sólido está limitado por $ z $ de 0 a 2. Para cada $ z $ nesse intervalo, o raio $ r $ vai de 0 a 2. Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Integramos agora em relação a $ r $:
Substituindo de volta:
Passo 9
Calculando os valores:
Então, a integral fica:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo de simetria é $ I = \frac{208\pi}{15} \rho $.