Determine a ordenada do centroide do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede a ordenada (coordenada y) do centroide de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. O conteúdo é geometria analítica/Cálculo de centróide de poliedro simples, e vamos usar a propriedade do centróide de um tetraedro (simplex) cujos vértices conhecemos.
Passo 2
Para achar os vértices do tetraedro, notamos que o plano
intercepta os eixos nos pontos onde duas coordenadas são zero. Assim, os vértices são
,
,
e
.
Passo 3
Uma propriedade importante de um tetraedro (simplex de 4 pontos) é que seu centroide é o ponto cujas coordenadas são a média aritmética das coordenadas de todos os vértices. Isso decorre da simetria do poliedro e também pode ser obtido integrando-se as coordenadas sobre o volume.
Passo 4
Aplicando a média só nas ordenadas dos quatro vértices, temos
daí concluímos qual é a ordenada do centroide.
Resposta
(\tfrac{b}{4})