Determine a ordenada do centroide do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano xa+yb+zc=1,(a>0, b>0, c>0).

Passo 1

O enunciado pede a ordenada (coordenada y) do centroide de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano xa+yb+zc=1. O conteúdo é geometria analítica/Cálculo de centróide de poliedro simples, e vamos usar a propriedade do centróide de um tetraedro (simplex) cujos vértices conhecemos.

Passo 2

Para achar os vértices do tetraedro, notamos que o plano xa+yb+zc=1 intercepta os eixos nos pontos onde duas coordenadas são zero. Assim, os vértices são (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c).

Passo 3

Uma propriedade importante de um tetraedro (simplex de 4 pontos) é que seu centroide é o ponto cujas coordenadas são a média aritmética das coordenadas de todos os vértices. Isso decorre da simetria do poliedro e também pode ser obtido integrando-se as coordenadas sobre o volume.

Passo 4

Aplicando a média só nas ordenadas dos quatro vértices, temos
bar y=0+0+b+04
daí concluímos qual é a ordenada do centroide.

Resposta

(\tfrac{b}{4})

Exercícios relacionados